Zeige, dass sich aus 5 natürlichen Zahlen stets 2 auswählen lassen, deren Differenz durch 4 teilbar ist.

Um zu zeigen, dass sich aus 5 natürlichen Zahlen stets 2 auswählen lassen, deren Differenz durch 4 teilbar ist, können wir den Satz der Reste verwenden. Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 4 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1, 2 und 3. Das bedeutet, dass es insgesamt 4 verschiedene Klassen von Resten gibt. Wenn wir 5 natürliche Zahlen betrachten, müssen wir diese Zahlen in eine der 4 Restklassen einordnen. Da es nur 4 Klassen gibt und wir 5 Zahlen haben, muss mindestens eine Restklasse mindestens zweimal belegt sein (dies folgt aus dem Schubfachprinzip). Wenn zwei Zahlen den gleichen Rest haben, dann ist die Differenz dieser beiden Zahlen durch 4 teilbar. Das liegt daran, dass die Differenz der beiden Zahlen den Rest 0 hat, wenn beide Zahlen den gleichen Rest haben. Somit können wir schlussfolgern, dass aus 5 natürlichen Zahlen immer mindestens 2 ausgewählt werden können, deren Differenz durch 4 teilbar ist.