Gesucht sind Zahlen \(a,b,c,d\) mit: 1. \(a + c = d\) 2. \(a \cdot b = c\) 3. \(c - b = b\) 4. \(a \cdot 4 = d\) Lösung: Aus \(c - b = b\) folgt: \(c = 2b\) Aus \(a \cdot b = c\) folgt dan...
Zeige, dass sich aus 5 natürlichen Zahlen stets 2 auswählen lassen, deren Differenz durch 4 teilbar ist.
Antwort vomUm zu zeigen, dass sich aus 5 natürlichen Zahlen stets 2 auswählen lassen, deren Differenz durch 4 teilbar ist, können wir den Satz der Reste verwenden. Jede natürliche Zahl hat einen Rest, wenn sie durch 4 geteilt wird. Die möglichen Reste sind 0, 1, 2 und 3. Das bedeutet, dass es insgesamt 4 verschiedene Klassen von Resten gibt. Wenn wir 5 natürliche Zahlen betrachten, müssen wir diese Zahlen in eine der 4 Restklassen einordnen. Da es nur 4 Klassen gibt und wir 5 Zahlen haben, muss mindestens eine Restklasse mindestens zweimal belegt sein (dies folgt aus dem Schubfachprinzip). Wenn zwei Zahlen den gleichen Rest haben, dann ist die Differenz dieser beiden Zahlen durch 4 teilbar. Das liegt daran, dass die Differenz der beiden Zahlen den Rest 0 hat, wenn beide Zahlen den gleichen Rest haben. Somit können wir schlussfolgern, dass aus 5 natürlichen Zahlen immer mindestens 2 ausgewählt werden können, deren Differenz durch 4 teilbar ist.
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