\(2 \cdot 8^{(2x+2)} = \sqrt{32}\) Umformen: \(8 = 2^3\) \(\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{5/2}\) Dann: \(2 \cdot (2^3)^{(2x+2)} = 2^{5/2}\) \(2 \cdot 2^{6x+6} = 2^{5/2}\) \(2^{1+6x+6} = 2^{5/2}\)...
Bestimme mit dem Intervallhalbierungsverfahren einen Näherungswert für Wurzel 19 mit zwei gesicherten Stellen.
Antwort vomUm die Wurzel von 19 mithilfe des Intervallhalbierungsverfahrens zu bestimmen, wähle zunächst ein Intervall, in dem die Wurzel liegt. Da \(4^2 = 16\) und \(5^2 = 25\), liegt \(\sqrt{19}\) im Intervall \([4, 5]\). 1. **Erster Schritt: Intervall halbieren** - Berechne den Mittelwert: \(m_1 = \frac{4 + 5}{2} = 4.5\) - Berechne \(m_1^2 = 4.5^2 = 20.25\). Da \(20.25 > 19\), liegt \(\sqrt{19}\) im Intervall \([4, 4.5]\). 2. **Zweiter Schritt: Intervall erneut halbieren** - Berechne den neuen Mittelwert: \(m_2 = \frac{4 + 4.5}{2} = 4.25\) - Berechne \(m_2^2 = 4.25^2 = 18.0625\). Da \(18.0625 < 19\), liegt \(\sqrt{19}\) im Intervall \([4.25, 4.5]\). 3. **Dritter Schritt: Intervall weiter halbieren** - Berechne den neuen Mittelwert: \(m_3 = \frac{4.25 + 4.5}{2} = 4.375\) - Berechne \(m_3^2 = 4.375^2 = 19.140625\). Da \(19.140625 > 19\), liegt \(\sqrt{19}\) im Intervall \([4.25, 4.375]\). 4. **Vierter Schritt: Intervall weiter halbieren** - Berechne den neuen Mittelwert: \(m_4 = \frac{4.25 + 4.375}{2} = 4.3125\) - Berechne \(m_4^2 = 4.3125^2 = 18.5765625\). Da \(18.5765625 < 19\), liegt \(\sqrt{19}\) im Intervall \([4.3125, 4.375]\). 5. **Fünfter Schritt: Intervall weiter halbieren** - Berechne den neuen Mittelwert: \(m_5 = \frac{4.3125 + 4.375}{2} = 4.34375\) - Berechne \(m_5^2 = 4.34375^2 = 18.869140625\). Da \(18.869140625 < 19\), liegt \(\sqrt{19}\) im Intervall \([4.34375, 4.375]\). 6. **Sechster Schritt: Intervall weiter halbieren** - Berechne den neuen Mittelwert: \(m_6 = \frac{4.34375 + 4.375}{2} = 4.359375\) - Berechne \(m_6^2 = 4.359375^2 = 19.004150390625\). Da \(19.004150390625 > 19\), liegt \(\sqrt{19}\) im Intervall \([4.34375, 4.359375]\). 7. **Siebter Schritt: Intervall weiter halbieren** - Berechne den neuen Mittelwert: \(m_7 = \frac{4.34375 + 4.359375}{2} = 4.3515625\) - Berechne \(m_7^2 = 4.3515625^2 = 18.9921875\). Da \(18.9921875 < 19\), liegt \(\sqrt{19}\) im Intervall \([4.3515625, 4.359375]\). 8. **Achter Schritt: Intervall weiter halbieren** - Berechne den neuen Mittelwert: \(m_8 = \frac{4.3515625 + 4.359375}{2} = 4.35546875\) - Berechne \(m_8^2 = 4.35546875^2 = 19.000244140625\). Da \(19.000244140625 > 19\), liegt \(\sqrt{19}\) im Intervall \([4.3515625, 4.35546875]\). Nach diesen Schritten haben wir das Intervall auf \([4.351
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