Wie kann ich n²+n ist gerade für alle n ∈ N₀ mittels vollständiger Induktion beweisen?

Question

Accepted Answer

Um die Aussage $ n^2 + n $ für alle $ n \in \mathbb{N}_0 $ mittels vollständiger Induktion zu beweisen, folge diesen Schritten:

1. **Induktionsanfang**: Überprüfe die Aussage für $ n = 0 $.
   $$
   n^2 + n = 0^2 + 0 = 0
   $$
   Die Aussage gilt also für $ n = 0 $.

2. **Induktionsvoraussetzung**: Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebiges $ k \in \mathbb{N}_0 $, also:
   $$
   k^2 + k = k(k + 1)
   $$

3. **Induktionsschritt**: Zeige, dass die Aussage auch für $ k + 1 $ gilt. Das bedeutet, du musst zeigen, dass:
   $$
   (k + 1)^2 + (k + 1) = (k + 1)((k + 1) + 1)
   $$
   Berechne die linke Seite:
   $$
   (k + 1)^2 + (k + 1) = (k^2 + 2k + 1) + (k + 1) = k^2 + 2k + 1 + k + 1 = k^2 + 3k + 2
   $$
   Berechne die rechte Seite:
   $$
   (k + 1)(k + 2) = k^2 + 2k + k + 2 = k^2 + 3k + 2
   $$
   Da die linke und die rechte Seite gleich sind, gilt die Aussage auch für $ k + 1 $.

4. **Schlussfolgerung**: Da der Induktionsanfang und der Induktionsschritt erfolgreich durchgeführt wurden, gilt die Aussage $ n^2 + n $ für alle $ n \in \mathbb{N}_0 $ durch vollständige Induktion.