Wie kann ich n^2 + n ist gerade für alle n ∈ N0 mittels vollständiger Induktion beweisen?

Um die Aussage \( n^2 + n \) für alle \( n \in \mathbb{N}_0 \) mittels vollständiger Induktion zu beweisen, folge diesen Schritten: 1. **Induktionsanfang**: Überprüfe die Aussage für \( n = 0 \). \[ n^2 + n = 0^2 + 0 = 0 \] Dies ist wahr, da \( 0 \) eine gerade Zahl ist. 2. **Induktionsvoraussetzung**: Angenommen, die Aussage gilt für ein beliebiges \( k \in \mathbb{N}_0 \), das heißt, \( k^2 + k \) ist gerade. 3. **Induktionsschritt**: Zeige, dass die Aussage auch für \( k + 1 \) gilt. \[ (k + 1)^2 + (k + 1) = k^2 + 2k + 1 + k + 1 = k^2 + k + 2k + 2 = (k^2 + k) + 2(k + 1) \] Da \( k^2 + k \) laut Induktionsvoraussetzung gerade ist und \( 2(k + 1) \) ebenfalls gerade ist (da das Produkt einer ganzen Zahl mit 2 immer gerade ist), ist die Summe von zwei geraden Zahlen auch gerade. 4. **Schlussfolgerung**: Da der Induktionsanfang und der Induktionsschritt erfolgreich durchgeführt wurden, gilt die Aussage für alle \( n \in \mathbb{N}_0 \). Somit ist bewiesen, dass \( n^2 + n \) für alle \( n \in \mathbb{N}_0 \) gerade ist.