Wie hängt das Produkt n(n-1)(n-2)...(n-k+1) mit n! zusammen?

Question

Wie hängt das Produkt n(n-1)(n-2)...(n-k+1) mit n! zusammen?

Antwort

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Wie schreibt man das Produkt n · (n-1) · (n-2) … (n-k+1) als Bruch mit Fakultäten (n!/(n-k)!)? Zeige alle Schritte.

Wie ist das Konvergenzverhalten der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) ((−1)^k)* (2^k)/(k!)?

Accepted Answer

Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das sogenannte **absteigende Produkt** von \( n \) mit \( k \) Faktoren. Es wird auch als **Fakultätsbruch** oder **fallende Faktorielle** bezeichnet. Die **Fakultät** von \( n \), geschrieben als \( n! \), ist definiert als das Produkt aller natürlichen Zahlen von \( n \) bis 1: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Um von deinem Ausdruck auf \( n! \) zu kommen, beachte Folgendes: - Dein Ausdruck hat nur \( k \) Faktoren, nämlich von \( n \) bis \( n-k+1 \). - \( n! \) hat aber alle Faktoren von \( n \) bis 1. Man kann deinen Ausdruck als Bruch von zwei Fakultäten schreiben: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] **Begründung:** Wenn du \( n! \) ausschreibst, hast du: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot \ldots \cdot 1 \] Wenn du durch \( (n-k)! \) teilst, kürzt sich der hintere Teil weg: \[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \] **Zusammenfassung:** Dein Produkt ist ein Teil von \( n! \). Wenn du alle Faktoren von \( n \) bis 1 haben willst, also \( n! \), musst du noch mit den fehlenden Faktoren multiplizieren, oder du schreibst es als Bruch: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)! \] bzw. \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \]

Accepted Answer

Die beiden Ausdrücke 1. \(\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}\) 2. \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\) sind tatsächlich **gleichwertig**. Der zweite Ausdruck ist die bekannte Fo... [mehr]

Accepted Answer

Die beiden Ausdrücke 1. \(\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)}{k!}\) 2. \(\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\) sind tatsächlich **gleichwertig**. Der zweite Ausdruck ist die bekannte Formel für die Anzahl der Kombinationen ("n über k"), also \(\binom{n}{k}\). **Herleitung:** Der Ausdruck \(n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1)\) ist das Produkt der ersten \(k\) Faktoren von \(n!\): \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot (n-k) \cdots 1 \] Das heißt: \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Setzt du das in den ersten Ausdruck ein, erhältst du: \[ \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!} = \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] **Fazit:** Du kommst von \(n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) / k!\) auf \(n! / (k! \cdot (n-k)!)\), indem du erkennst, dass das Produkt im Zähler genau \(n!\) ohne die letzten \((n-k)!\) Faktoren ist.

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Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das Produkt der \( k \) aufeinanderfolgenden Zahlen von \( n \) abwärts. Das ist genau die Anzahl der Möglichkeite... [mehr]

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Der Ausdruck \( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) ist das Produkt der \( k \) aufeinanderfolgenden Zahlen von \( n \) abwärts. Das ist genau die Anzahl der Möglichkeiten, \( k \) verschiedene Objekte aus \( n \) zu ziehen, wobei die Reihenfolge wichtig ist (Variationen ohne Zurücklegen). Der Ausdruck \( n! \) (gesprochen: „n Fakultät“) ist das Produkt aller natürlichen Zahlen von \( n \) abwärts bis 1: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Um von \( n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \) auf \( n! \) zu kommen, multiplizierst du einfach die restlichen Faktoren bis 1 dazu. Das heißt: \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 \] Oder anders geschrieben: \[ n! = [n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)] \cdot (n-k)! \] Daraus folgt: \[ n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Das ist die Formel für die Anzahl der Permutationen von \( k \) aus \( n \) Elementen. **Zusammengefasst:** Du kommst auf \( n! \), indem du zu deinem Produkt die restlichen Faktoren bis 1 dazunimmst. Das Produkt bis \( (n-k+1) \) ist also ein Teil von \( n! \).

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Die Schreibweise **bin(n, k)** steht meist für den **Binomialkoeffizienten** und wird auch als „n über k“ gelesen. Er gibt an, auf wie viele Arten man aus einer Menge von **n** v... [mehr]

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Die Schreibweise **bin(n, k)** steht meist für den **Binomialkoeffizienten** und wird auch als „n über k“ gelesen. Er gibt an, auf wie viele Arten man aus einer Menge von **n** verschiedenen Objekten **k** Objekte auswählen kann, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Mathematisch wird der Binomialkoeffizient so definiert: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] Dabei ist „!“ das Fakultätszeichen (z. B. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24). **Beispiel:** \[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10 \] Das bedeutet: Es gibt 10 Möglichkeiten, aus 5 Objekten 2 auszuwählen. Weitere Informationen findest du z. B. bei [Wikipedia: Binomialkoeffizient](https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient).

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Gegeben ist der Term: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Du möchtest zeigen, wie man diesen Term als \(\frac{n!}{(n-k)!}\) schreiben kann. Hier sind die Schritte: --- **1. Schreib... [mehr]

Accepted Answer

Gegeben ist der Term: \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Du möchtest zeigen, wie man diesen Term als \(\frac{n!}{(n-k)!}\) schreiben kann. Hier sind die Schritte: --- **1. Schreibe die Produktform explizit aus:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] Das sind genau \(k\) Faktoren, beginnend bei \(n\) und jeweils um 1 kleiner werdend, bis zum Term \(n-k+1\). --- **2. Schreibe die Fakultät \(n!\) aus:** \[ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] --- **3. Schreibe die Fakultät \((n-k)!\) aus:** \[ (n-k)! = (n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 \] --- **4. Schreibe den Bruch \(\frac{n!}{(n-k)!}\) aus:** \[ \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot (n-k) \cdots 1}{(n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1} \] --- **5. Kürze die gemeinsamen Faktoren:** Im Zähler und Nenner stehen die Faktoren \((n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 1\). Diese kürzen sich heraus: \[ \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot \cancel{(n-k) \cdots 1}}{\cancel{(n-k) \cdots 1}} \] --- **6. Übrig bleibt:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \] --- **Fazit:** \[ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Das ist die gesuchte Umformung.

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \] zu bestimmen, können wir zunächst die absolute Konvergenz prüfen. Dazu betrachten wir die R... [mehr]

Accepted Answer

Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \] zu bestimmen, können wir zunächst die absolute Konvergenz prüfen. Dazu betrachten wir die Reihe der Beträge: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!}. \] Diese Reihe ist die Taylorreihe für die Exponentialfunktion \(e^x\) bei \(x = 2\): \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} = e^2. \] Da die Reihe \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!}\) konvergiert (sie ist eine konvergente Exponentialreihe), folgt, dass die ursprüngliche Reihe absolut konvergent ist. Da die Reihe sowohl konvergent als auch absolut konvergent ist, ist die Antwort: **Absolut konvergent.**

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