Wie zerlege ich die Matrix A = ((2, 1, 0), (0, 2, 1), (0, 0, 2)) in zwei kommutierende Matrizen A1 und A2 so, dass A1 + A2 = A?

Um die Matrix \( A \) in zwei kommutierende Matrizen \( A_1 \) und \( A_2 \) zu zerlegen, so dass \( A_1 + A_2 = A \), kannst du wie folgt vorgehen:

1. **Wähle eine Diagonalmatrix \( D \), die mit \( A \) kommutiert:**
Da \( A \) eine obere Dreiecksmatrix ist, wird jede Diagonalmatrix mit \( A \) kommutieren. Eine einfache Wahl für \( D \) könnte eine Diagonalmatrix sein, die die Diagonalelemente von \( A \) enthält.

Setze \( D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \).

2. **Bestimme \( A_1 \) und \( A_2 \):**
Wähle \( A_1 \) als die Diagonalmatrix \( D \) und \( A_2 \) als die Differenzmatrix \( A - D \).

Also:
\[
A_1 = D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
\]
\[
A_2 = A - D = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\]

3. **Überprüfe die Kommutativität:**
Prüfe, ob \( A_1 \) und \( A_2 \) kommutieren, d.h. ob \( A_1 A_2 = A_2 A_1 \).

Berechne:
\[
A_1 A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\]
\[
A_2 A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\]

Da \( A_1 A_2 = A_2 A_1 \), kommutieren \( A_1 \) und \( A_2 \).

Somit sind die Matrizen \( A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \) und \( A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) die gesuchten kommutierenden Matrizen, die die Bedingung \( A_1 + A_2 = A \) erfüllen.