1 Frage zu Kommutieren

Um die Matrix \( A \) in zwei kommutierende Matrizen \( A_1 \) und \( A_2 \) zu zerlegen, so dass \( A_1 + A_2 = A \), kannst du wie folgt vorgehen: 1. **Wähle eine Diagonalmatrix \( D \), die mit \( A \) kommutiert:** Da \( A \) eine obere Dreiecksmatrix ist, wird jede Diagonalmatrix mit \( A \) kommutieren. Eine einfache Wahl für \( D \) könnte eine Diagonalmatrix sein, die die Diagonalelemente von \( A \) enthält. Setze \( D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \). 2. **Bestimme \( A_1 \) und \( A_2 \):** Wähle \( A_1 \) als die Diagonalmatrix \( D \) und \( A_2 \) als die Differenzmatrix \( A - D \). Also: \[ A_1 = D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] \[ A_2 = A - D = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 3. **Überprüfe die Kommutativität:** Prüfe, ob \( A_1 \) und \( A_2 \) kommutieren, d.h. ob \( A_1 A_2 = A_2 A_1 \). Berechne: \[ A_1 A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ A_2 A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Da \( A_1 A_2 = A_2 A_1 \), kommutieren \( A_1 \) und \( A_2 \). Somit sind die Matrizen \( A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \) und \( A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) die gesuchten kommutierenden Matrizen, die die Bedingung \( A_1 + A_2 = A \) erfüllen.