Logarithmus von x größer als 1?

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Logarithmus von x größer als 1?

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Wie berechnet man das Integral von (ln x)^2 dx?

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Der Logarithmus von \( x \) (mit \( x > 1 \)) ist eine mathematische Funktion, die die Potenz angibt, zu der eine Basis erhoben werden muss, um \( x \ zu erhalten. Zum Beispiel: - Der natürliche Logarithmus (Basis \( e \)): \(\ln(x)\) - Der dekadische Logarithmus (Basis 10): \(\log_{10}(x)\) Für \( x > 1 \) gilt: - \(\ln(x) > 0\) - \(\log_{10}(x) > 0\) Das bedeutet, dass der Logarithmus von \( x \) für \( x > 1 \) immer positiv ist.

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Das Integral von \((\ln x)^2\) bezüglich \(x\) kannst du mit partieller Integration berechnen. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Lösung: Setze: - \(u = (\ln x)^2\) ⇒ \(du = \frac{2... [mehr]

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Das Integral von \((\ln x)^2\) bezüglich \(x\) kannst du mit partieller Integration berechnen. Hier ist die Schritt-für-Schritt-Lösung: Setze: - \(u = (\ln x)^2\) ⇒ \(du = \frac{2\ln x}{x} dx\) - \(dv = dx\) ⇒ \(v = x\) Partielle Integration: \[ \int u\,dv = uv - \int v\,du \] Also: \[ \int (\ln x)^2 dx = x(\ln x)^2 - \int x \cdot \frac{2\ln x}{x} dx \] \[ = x(\ln x)^2 - 2\int \ln x\, dx \] Das Integral \(\int \ln x\, dx\) ist bekannt: \[ \int \ln x\, dx = x\ln x - x + C \] Setze das ein: \[ = x(\ln x)^2 - 2[x\ln x - x] + C \] \[ = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C \] **Ergebnis:** \[ \boxed{ \int (\ln x)^2\, dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x + C } \]