$ (a_n) $ und $ (b_n) $ seien konvergente Folgen mit $ ext{lim}_{n o ext{unendlich}} a_n = a $ und $ ext{lim}_{n o ext{unendlich}} b_n = b $. Was gilt dann?

Question

$ (a_n) $ und $ (b_n) $ seien konvergente Folgen mit $ ext{lim}_{n o ext{unendlich}} a_n = a $ und $ ext{lim}_{n o ext{unendlich}} b_n = b $. Was gilt dann?

Antwort

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Bestimme das größtmögliche R≥0, dass die Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (k!)/(k^k) * x^k für alle x∈R mit |x|<R absolut konvergiert. Ergebnis auf drei Nachkommastellen?

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Accepted Answer

Wenn $ (a_n) $ und $ (b_n) $ konvergente Folgen sind mit $ \lim_{n \to \infty} a_n = a $ und $ \lim_{n \to \infty} b_n = b $, dann gelten folgende Eigenschaften: 1. **Summe der Folgen**: \[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = a + b \] 2. **Produkt der Folgen**: \[ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b \] 3. **Skalare Vielfache**: Für eine Konstante $ c $ gilt: \[ \lim_{n \to \infty} (c \cdot a_n) = c \cdot a \] 4. **Quotient der Folgen**: Wenn $ b \neq 0 $, dann gilt: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_n}{b_n} \right) = \frac{a}{b} \] Diese Eigenschaften sind grundlegende Ergebnisse der Analysis und zeigen, wie sich die Grenzwerte von konvergierenden Folgen verhalten.

Accepted Answer

Um den größtmöglichen Radius $ R $ zu bestimmen, für den die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^k} x^k \] für alle $ x \in \mathbb{R} $ mit $ |x| < R $ abso... [mehr]

Accepted Answer

Um den größtmöglichen Radius $ R $ zu bestimmen, für den die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^k} x^k \] für alle $ x \in \mathbb{R} $ mit $ |x| < R $ absolut konvergiert, verwenden wir den Wurzel- oder Quotiententest. Hier ist der Quotiententest anwendbar. Betrachten wir den allgemeinen Term der Reihe: \[ a_k = \frac{k!}{k^k} x^k. \] Wir berechnen den Quotienten $ \frac{a_{k+1}}{a_k} $: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} x^{k+1} \cdot \frac{k^k}{k! x^k} = \frac{(k+1) k^k}{(k+1)^{k+1}} x = \frac{k^k}{(k+1)^k} x. \] Nun vereinfachen wir den Ausdruck: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \left( \frac{k}{k+1} \right)^k x. \] Für große $ k $ gilt: \[ \left( \frac{k}{k+1} \right)^k = \left( 1 - \frac{1}{k+1} \right)^k \approx e^{-1} \quad \text{(nach dem Grenzwert von } \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \text{)}. \] Somit ergibt sich: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} \approx e^{-1} x. \] Für die Konvergenz der Reihe muss der Grenzwert des Quotienten kleiner als 1 sein: \[ |e^{-1} x| < 1 \implies |x| < e. \] Daraus folgt, dass der Radius der Konvergenz $ R = e $ ist. Das Ergebnis auf drei Nachkommastellen lautet: \[ R \approx 2.718. \]

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass $ e^x $ schneller wächst als $ x^n $ für jedes feste $ n $, kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1.... [mehr]

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass $ e^x $ schneller wächst als $ x^n $ für jedes feste $ n $, kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1. **Betrachte den Grenzwert**: Wir wollen den Grenzwert von $ \frac{x^n}{e^x} $ untersuchen, wenn $ x $ gegen unendlich geht: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} \] 2. **Form des Grenzwerts**: Wenn $ x $ gegen unendlich geht, wächst $ e^x $ exponentiell, während $ x^n $ polynomial wächst. Daher hat der Grenzwert die Form $ \frac{\infty}{\infty} $, was die Anwendung der Regel von l'Hôpital rechtfertigt. 3. **Anwendung der Regel von l'Hôpital**: Wir leiten den Zähler und den Nenner ab: - Der Zähler $ x^n $ hat die Ableitung $ n x^{n-1} $. - Der Nenner $ e^x $ hat die Ableitung $ e^x $. Somit erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{e^x} \] 4. **Wiederhole die Anwendung**: Da der neue Zähler $ n x^{n-1} $ immer noch ein Polynom ist, können wir die Regel von l'Hôpital erneut anwenden. Nach $ n $ Anwendungen erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 \] 5. **Schlussfolgerung**: Da der Grenzwert $ 0 $ ist, folgt, dass $ e^x $ schneller wächst als $ x^n $: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \implies e^x \text{ wächst schneller als } x^n. \] Damit ist bewiesen, dass $ e^x $ schneller wächst als $ x^n $ für jedes feste $ n $.

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Um den Grenzwert von Exponentialfunktionen (e-Funktionen) zu bestimmen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Identifiziere die Funktion**: Bestimme die Funktion, deren Grenzwert du berechnen m&... [mehr]

Accepted Answer

Um den Grenzwert von Exponentialfunktionen (e-Funktionen) zu bestimmen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Identifiziere die Funktion**: Bestimme die Funktion, deren Grenzwert du berechnen möchtest, z.B. $ f(x) = e^{g(x)} $, wobei $ g(x) $ eine Funktion ist, die von $ x $ abhängt. 2. **Bestimme den Grenzwert von $ g(x) $**: Berechne den Grenzwert von $ g(x) $ für $ x $ gegen einen bestimmten Wert (z.B. $ x \to a $). Das kann durch direkte Substitution, Faktorisierung oder L'Hôpital's Regel geschehen, falls der Grenzwert eine unbestimmte Form ergibt. 3. **Setze den Grenzwert in die Exponentialfunktion ein**: Wenn der Grenzwert von $ g(x) $ existiert und gleich $ L $ ist, dann gilt: \[ \lim_{x \to a} e^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)} = e^L \] 4. **Berücksichtige spezielle Fälle**: Achte auf spezielle Fälle wie $ g(x) \to \infty $ oder $ g(x) \to -\infty $, da dies den Grenzwert von $ e^{g(x)} $ beeinflusst: - Wenn $ g(x) \to \infty $, dann $ e^{g(x)} \to \infty $. - Wenn $ g(x) \to -\infty $, dann $ e^{g(x)} \to 0 $. 5. **Prüfe die Bedingungen**: Stelle sicher, dass die Bedingungen für die Anwendung der Grenzwertregeln erfüllt sind. Durch diese Schritte kannst du den Grenzwert von e-Funktionen systematisch bestimmen.

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Die Bedingung, dass die Partialsummen $ s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k $ beschränkt sind, ist notwendig für die Konvergenz der Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $. Wenn die Reihe \( \sum_{k=1}... [mehr]

Accepted Answer

Die Bedingung, dass die Partialsummen $ s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k $ beschränkt sind, ist notwendig für die Konvergenz der Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $. Wenn die Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $ konvergiert, dann müssen die Partialsummen $ s_n $ einen Grenzwert haben, was bedeutet, dass sie beschränkt sind. Allerdings ist die Beschränktheit der Partialsummen nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe. Es gibt Reihen, deren Partialsummen beschränkt sind, aber die Reihe selbst divergiert, wie zum Beispiel die alternierende harmonische Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} $, deren Partialsummen zwar beschränkt sind, aber nicht konvergieren. Zusammenfassend: Die Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $.

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Um das größtmögliche $ R \geq 0 $ zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2} \] für alle $ x \in \mathbb{R} $ mit $ |x| < R $ absolut... [mehr]

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Um das größtmögliche $ R \geq 0 $ zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2} \] für alle $ x \in \mathbb{R} $ mit $ |x| < R $ absolut konvergiert, können wir den Wurzel- oder den Quotiententest verwenden. Hier verwenden wir den Quotiententest. Betrachten wir den allgemeinen Term der Reihe: \[ a_k = \frac{x^k}{k^2}. \] Wir berechnen den Quotienten $ \frac{a_{k+1}}{a_k} $: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{x^{k+1}}{(k+1)^2}}{\frac{x^k}{k^2}} = \frac{x^{k+1} \cdot k^2}{x^k \cdot (k+1)^2} = \frac{x \cdot k^2}{(k+1)^2}. \] Für große $ k $ vereinfacht sich dieser Ausdruck zu: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} \approx \frac{x \cdot k^2}{k^2} = x. \] Der Quotiententest besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn der Grenzwert des Quotienten kleiner als 1 ist: \[ |x| < 1. \] Das bedeutet, dass die Reihe für $ |x| < 1 $ absolut konvergiert. Daher ist das größtmögliche $ R $ gleich 1. Zusammenfassend ergibt sich: \[ R = 1.000. \]

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Um das größtmögliche $ R \geq 0 $ zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k+4} \] für alle $ x \in \mathbb{R} $ mit \( |x| < R... [mehr]

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Um das größtmögliche $ R \geq 0 $ zu bestimmen, für das die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k+4} \] für alle $ x \in \mathbb{R} $ mit $ |x| < R $ absolut konvergiert, betrachten wir zunächst die allgemeine Form der Reihe. Die Reihe kann umgeschrieben werden als: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k+4} = x^4 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k} \] Die innere Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k} \] ist eine alternierende Reihe. Um die Konvergenz zu untersuchen, verwenden wir den Leibniz-Kriterium für die Alternierende Reihe, das besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn die Beträge der Terme monoton fallen und gegen null konvergieren. Die Terme der Reihe sind: \[ a_k = \frac{x^{2k}}{k^2} \] Für die absolute Konvergenz betrachten wir die Reihe: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{k^2} x^{2k} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k^2} \] Diese Reihe ist eine Potenzreihe in $ x^2 $. Um den Konvergenzradius $ R $ zu bestimmen, verwenden wir die Formel für den Konvergenzradius einer Potenzreihe: \[ \frac{1}{R} = \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|} \] Hier ist $ a_k = \frac{1}{k^2} $ und wir betrachten $ |x|^{2k} $. Der Konvergenzradius der Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k^2} $ ist gegeben durch: \[ R = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{\sqrt[k]{k^2}} = 1 \] Das bedeutet, dass die Reihe für $ |x^2| < 1 $ konvergiert, also für $ |x| < 1 $. Daher ist das größtmögliche $ R $ für die absolute Konvergenz der gegebenen Reihe: \[ R = 1 \] Auf drei Nachkommastellen gerundet ist das Ergebnis: \[ R = 1.000 \]

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \] zu bestimmen, können wir zunächst die absolute Konvergenz prüfen. Dazu betrachten wir die Reihe der Beträge: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k \cdot 2^k}{k!} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!}. \] Diese Reihe ist die Taylorreihe für die Exponentialfunktion $e^x$ bei $x = 2$: \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} = e^2. \] Da die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k!}$ konvergiert (sie ist eine konvergente Exponentialreihe), folgt, dass die ursprüngliche Reihe absolut konvergent ist. Da die Reihe sowohl konvergent als auch absolut konvergent ist, ist die Antwort: **Absolut konvergent.**

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} \] zu bestimmen, können wir den Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen anwenden. Eine alternierende Rei... [mehr]

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k-1} \] zu bestimmen, können wir den Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen anwenden. Eine alternierende Reihe $\sum (-1)^k a_k$ konvergiert, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: 1. $a_k \geq a_{k+1}$ für alle $k$ (die Folge der Beträge ist monoton fallend). 2. $\lim_{k \to \infty} a_k = 0$. In diesem Fall ist $a_k = \frac{1}{2k-1}$. 1. **Monotonie**: Es gilt $a_k = \frac{1}{2k-1} \geq a_{k+1} = \frac{1}{2(k+1)-1} = \frac{1}{2k+1}$, was zeigt, dass die Folge monoton fallend ist. 2. **Grenzwert**: Der Grenzwert ist $\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2k-1} = 0$. Da beide Bedingungen erfüllt sind, konvergiert die Reihe. Um die absolute Konvergenz zu überprüfen, betrachten wir die Reihe der Beträge: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{2k-1} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k-1}. \] Diese Reihe ist die harmonische Reihe, die divergiert. Daher ist die ursprüngliche Reihe nicht absolut konvergent. Zusammenfassend ist die Reihe konvergent, aber nicht absolut konvergent. Die richtige Antwort ist also: **Konvergent, aber nicht absolut konvergent.**

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(1/2)^k} \] zu untersuchen, können wir die Reihe umformen. Der Ausdruck $(1/2)^k$ kann als $2^{-k}$ geschrieben we... [mehr]

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Um das Konvergenzverhalten der Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(1/2)^k} \] zu untersuchen, können wir die Reihe umformen. Der Ausdruck $(1/2)^k$ kann als $2^{-k}$ geschrieben werden, sodass die Reihe wie folgt aussieht: \[ \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k \cdot 2^k \] Das bedeutet, dass die Reihe tatsächlich die Form \[ \sum_{k=1}^{\infty} (-2)^k \] hat. Diese Reihe ist eine geometrische Reihe mit dem ersten Term $-2$ und dem Faktor $r = -2$. Eine geometrische Reihe konvergiert nur, wenn der Betrag des Faktors $r$ kleiner als 1 ist, also $|r| < 1$. In diesem Fall ist $|-2| = 2$, was größer als 1 ist. Daher divergiert die Reihe. Die Antwort ist: **Divergent.**

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Der Grenzwert von $\frac{e^x}{x}$ für $x$ gegen 0 ist nicht definiert, da der Ausdruck für $x = 0$ nicht definiert ist (wir erhalten eine Division durch Null). Wenn du jedoch den Grenz... [mehr]

Accepted Answer

Der Grenzwert von $\frac{e^x}{x}$ für $x$ gegen 0 ist nicht definiert, da der Ausdruck für $x = 0$ nicht definiert ist (wir erhalten eine Division durch Null). Wenn du jedoch den Grenzwert für $x$ gegen unendlich betrachtest, dann gilt: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \infty \] Das bedeutet, dass der Ausdruck unendlich groß wird, wenn $x$ immer größer wird.