$ (a_n) $ und $ (b_n) $ seien konvergente Folgen mit $ ext{lim}_{n o ext{unendlich}} a_n = a $ und $ ext{lim}_{n o ext{unendlich}} b_n = b $. Was gilt dann?

Question

$ (a_n) $ und $ (b_n) $ seien konvergente Folgen mit $ ext{lim}_{n o ext{unendlich}} a_n = a $ und $ ext{lim}_{n o ext{unendlich}} b_n = b $. Was gilt dann?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie kann man mit l'Hospital begründen, dass e^x schneller wächst als x^n?

Accepted Answer

Wenn $ (a_n) $ und $ (b_n) $ konvergente Folgen sind mit $ \lim_{n \to \infty} a_n = a $ und $ \lim_{n \to \infty} b_n = b $, dann gelten folgende Eigenschaften: 1. **Summe der Folgen**: \[ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = a + b \] 2. **Produkt der Folgen**: \[ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = a \cdot b \] 3. **Skalare Vielfache**: Für eine Konstante $ c $ gilt: \[ \lim_{n \to \infty} (c \cdot a_n) = c \cdot a \] 4. **Quotient der Folgen**: Wenn $ b \neq 0 $, dann gilt: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_n}{b_n} \right) = \frac{a}{b} \] Diese Eigenschaften sind grundlegende Ergebnisse der Analysis und zeigen, wie sich die Grenzwerte von konvergierenden Folgen verhalten.

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass $ e^x $ schneller wächst als $ x^n $ für jedes feste $ n $, kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1.... [mehr]

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass $ e^x $ schneller wächst als $ x^n $ für jedes feste $ n $, kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1. **Betrachte den Grenzwert**: Wir wollen den Grenzwert von $ \frac{x^n}{e^x} $ untersuchen, wenn $ x $ gegen unendlich geht: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} \] 2. **Form des Grenzwerts**: Wenn $ x $ gegen unendlich geht, wächst $ e^x $ exponentiell, während $ x^n $ polynomial wächst. Daher hat der Grenzwert die Form $ \frac{\infty}{\infty} $, was die Anwendung der Regel von l'Hôpital rechtfertigt. 3. **Anwendung der Regel von l'Hôpital**: Wir leiten den Zähler und den Nenner ab: - Der Zähler $ x^n $ hat die Ableitung $ n x^{n-1} $. - Der Nenner $ e^x $ hat die Ableitung $ e^x $. Somit erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{e^x} \] 4. **Wiederhole die Anwendung**: Da der neue Zähler $ n x^{n-1} $ immer noch ein Polynom ist, können wir die Regel von l'Hôpital erneut anwenden. Nach $ n $ Anwendungen erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 \] 5. **Schlussfolgerung**: Da der Grenzwert $ 0 $ ist, folgt, dass $ e^x $ schneller wächst als $ x^n $: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \implies e^x \text{ wächst schneller als } x^n. \] Damit ist bewiesen, dass $ e^x $ schneller wächst als $ x^n $ für jedes feste $ n $.