Komplexe Zahlen einfach erklärt

Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen und bestehen aus einem realen Teil und einem imaginären Teil. Sie werden in der Form \( z = a + bi \) geschrieben, wobei \( a \) und \( b \) reelle Zahlen sind und \( i \) die imaginäre Einheit ist definiert durch \( i^2 = - \).

Hier sind einige grundlegende Konzepte und Formeln:

1. **Addition und Subtraktion**:
- \( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \)
- \( (a + bi) - (c + di) = (a -) + (b - d)i \)

2. **Multiplikation:
- \( (a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \)

3. **Division**:
- \( \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} \)

4. **Betrag einer komplexen Zahl**:
- Der Betrag (oder die Länge) einer komplexen Zahl \( z = a + bi \) ist \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \).

5. **Konjugierte komplexe Zahl**:
- Die konjugierte komplexe Zahl von \( z = a + bi \) ist \( \overline{z} = a - bi \).

6. **Polarform**:
- Eine komplexe Zahl kann auch in der Polarform geschrieben werden: \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \), wobei \( r = |z| \) der Betrag und \( \theta \) das Argument (der Winkel) der komplexen Zahl ist.

Diese Konzepte und Formeln bilden die Grundlage für das Verständnis und die Arbeit mit komplexen Zahlen in der Mathematik und den Ingenieurwissenschaften.