Muss die Koeffizientenmatrix eines Gleichungssystems quadratisch sein?

Question

Muss die Koeffizientenmatrix eines Gleichungssystems quadratisch sein?

Antwort

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Wie finde ich die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion?

Wie lautet die Diskriminante für die Gleichung ax^2 + px + q = 0?

Wie löst man die gegebene Matrix?

Bestimme grafisch die Lösung des Gleichungssystems y=-2x-5 und y=3x+5.

Accepted Answer

Nein, die Koeffizientenmatrix eines Gleichungssystems muss nicht quadratisch sein. Sie kann rechteckig sein, was bedeutet, dass die Anzahl der Gleichungen (Zeilen) von der Anzahl der Unbekannten (Spalten) abweichen kann. Ein Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten wird als überbestimmt bezeichnet, während ein System mit mehr Unbekannten als Gleichungen als unterbestimmt gilt. In beiden Fällen kann das System Lösungen haben, die eindeutig, unendlich oder keine Lösungen sein können.

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) u... [mehr]

Accepted Answer

Um die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion der Form \( f(x) = ax^2 + bx + c \) zu bestimmen, kannst du die Diskriminante \( D \) verwenden, die aus den Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) berechnet wird. Die Diskrimin wird wie folgt berechnet: \[ D = b^2 - 4ac \] Die Anzahl der Nullstellen hängt dann von dem Wert der Diskriminante ab: 1. **Wenn \( D > 0 \)**: Die Funktion hat zwei verschiedene Nullstellen. 2. **Wenn \( D = 0 \)**: Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle (also genau eine Nullstelle). 3. **Wenn \( D < 0 \)**: Die Funktion hat keine reellen Nullstellen (die Nullstellen sind komplex). Durch die Berechnung der Diskriminante kannst du also schnell die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen.

Accepted Answer

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + px + q = 0 \) wird durch die Formel \( D = p^2 - 4aq \ bestimmt. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Art der Lösunge... [mehr]

Accepted Answer

Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \( ax^2 + px + q = 0 \) wird durch die Formel \( D = p^2 - 4aq \ bestimmt. Die Diskriminante gibt Auskunft über die Art der Lösungen der Gleichung: - Wenn \( D > 0 \), gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. - Wenn \( D = 0 \), gibt es eine doppelte reelle Lösung. - Wenn \( D < 0 \), gibt es keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen. Diese Informationen sind wichtig, um das Verhalten der Parabel, die durch die Gleichung beschrieben wird, zu verstehen.

Accepted Answer

Um das gegebene lineare Gleichungssystem zu lösen, können wir die erweiterte Matrix in Zeilenstufenform bringen. Die Matrix lautet: \[ \begin{pmatrix} 9 & 6 & -12 & 6 & | &a... [mehr]

Accepted Answer

Um das gegebene lineare Gleichungssystem zu lösen, können wir die erweiterte Matrix in Zeilenstufenform bringen. Die Matrix lautet: \[ \begin{pmatrix} 9 & 6 & -12 & 6 & | & 0 \\ 6 & 4 & -8 & 2 & | & 0 \\ 0 &2 & 4 6 & | 0 \\ -3 & 4 & 7 & 18 & | & 0 \end{pmatrix} \] Wir führen die folgenden Schritte durch: 1. **Zeilenoperationen durchführen**: Wir versuchen, die Matrix in eine einfachere Form zu bringen. Zuerst teilen wir die erste Zeile durch 3, um die Berechnungen zu erleichtern: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 6 & 4 & -8 & 2 & | & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & | & 0 \\ -3 & 4 & 7 & 18 & | & 0 \end{pmatrix} \] 2. **Subtrahiere Vielfache der ersten Zeile von den anderen Zeilen**: - Zeile 2: \( Z_2 - 2 \cdot Z_1 \) - Zeile 4: \( Z_4 + Z_1 \) Das ergibt: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 6 & | & 0 \\ 0 & 6 & 3 & 20 & | & 0 \end{pmatrix} \] 3. **Die zweite Zeile ist jetzt \(0 = 0\)**, was bedeutet, dass sie keine neue Information liefert. Wir können uns auf die anderen Zeilen konzentrieren. 4. **Jetzt arbeiten wir mit den Zeilen 3 und 4**. Wir teilen die dritte Zeile durch 2: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 6 & 3 & 20 & | & 0 \end{pmatrix} \] 5. **Subtrahiere 6-mal die dritte Zeile von der vierten Zeile**: \[ Z_4 - 6 \cdot Z_3 \] Das ergibt: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & -9 & 2 & | & 0 \end{pmatrix} \] 6. **Nun bringen wir die Matrix in die reduzierte Zeilenstufenform**. Wir können die vierte Zeile durch -1/9 teilen: \[ \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 2 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2/9 & | & 0 \end{pmatrix} \] 7. **Jetzt können wir die Rücksubstitution durchführen**. Wir setzen die Variablen in Bezug auf die freien Variablen ein. Die letzte Zeile gibt uns: \[ z = \frac{2}{9}y \] Die dritte Zeile gibt uns: \[ y + 2z + 3w = 0 \implies y + 2\left(\frac{2}{9}y\right) + 3w = 0 \implies y\left(1 + \frac{4}{9}\right) + 3w = 0 \implies \frac{13}{9}y + 3w = 0 \] Das bedeutet: \[ y = -\frac{27}{13}w \] Setzen wir \(y\) in die Gleichung für \(z\) ein: \[ z = \frac{2}{9}\left(-\frac{27}{13}w\right) = -\frac{6

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Um die Lösung des Gleichungssystems grafisch bestimmen, kannst du die beiden Gleichungen in ein Koordinatensystem einzeichnen. 1. **Gleichung 1: \( y = -2x - 5 \)** - Diese Gleichung hat eine... [mehr]

Accepted Answer

Um die Lösung des Gleichungssystems grafisch bestimmen, kannst du die beiden Gleichungen in ein Koordinatensystem einzeichnen. 1. **Gleichung 1: \( y = -2x - 5 \)** - Diese Gleichung hat eine negative Steigung von -2 und einen y-Achsenabschnitt bei -5. Du kannst zwei Punkte finden, um die Gerade zu zeichnen: - Wenn \( x = 0 \): \( y = -5 \) (Punkt: (0, -5)) - Wenn \( x = 1 \): \( y = -2(1) - 5 = -7 \) (Punkt: (1, -7)) 2. **Gleichung 2: \( y = 3x + 5 \)** - Diese Gleichung hat eine positive Steigung von 3 und einen y-Achsenabschnitt bei 5. Auch hier kannst du zwei Punkte finden: - Wenn \( x = 0 \): \( y = 5 \) (Punkt: (0, 5)) - Wenn \( x = 1 \): \( y = 3(1) + 5 = 8 \) (Punkt: (1, 8)) Nachdem du beide Geraden in das Koordinatensystem eingezeichnet hast, suchst du den Schnittpunkt der beiden Linien. Dieser Punkt ist die Lösung des Gleichungssystems. Um den Schnittpunkt algebraisch zu finden, setzt du die beiden Gleichungen gleich: \[ -2x - 5 = 3x + 5 \] Löse die Gleichung: \[ -2x - 3x = 5 + 5 \] \[ -5x = 10 \] \[ x = -2 \] Setze \( x = -2 \) in eine der beiden Gleichungen ein, um \( y \) zu finden: \[ y = 3(-2) + 5 = -6 + 5 = -1 \] Der Schnittpunkt und somit die Lösung des Gleichungssystems ist \( (-2, -1) \).