Wie zeige ich, dass e^A invertierbar ist? A ist eine n x n Matrix.

Um zu zeigen, dass \( e^A \) invertierbar ist, wobei \( A \) eine \( n \times n \) Matrix ist, kannst du die folgenden Schritte befolgen: 1. **Definition der Matrix-Exponentialfunktion**: Die Matrix-Exponentialfunktion \( e^A \) ist definiert durch die Potenzreihe: \[ e^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} \] Diese Reihe konvergiert für jede quadratische Matrix \( A \). 2. **Eigenschaft der Determinante**: Eine Matrix \( B \) ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante \( \det(B) \) ungleich null ist. 3. **Determinante der Matrix-Exponentialfunktion**: Es gilt die Beziehung: \[ \det(e^A) = e^{\text{tr}(A)} \] wobei \( \text{tr}(A) \) die Spur der Matrix \( A \) ist (die Summe der Diagonalelemente von \( A \)). 4. **Eigenschaft der Exponentialfunktion**: Die Exponentialfunktion \( e^x \) ist für alle reellen oder komplexen Zahlen \( x \) ungleich null. 5. **Schlussfolgerung**: Da \( \text{tr}(A) \) eine reelle oder komplexe Zahl ist, ist \( e^{\text{tr}(A)} \) immer ungleich null. Daher ist auch \( \det(e^A) \) ungleich null. 6. **Invertierbarkeit**: Da die Determinante von \( e^A \) ungleich null ist, folgt daraus, dass \( e^A \) invertierbar ist. Zusammengefasst: \( e^A \) ist invertierbar, weil die Determinante von \( e^A \) immer ungleich null ist, was aus der Eigenschaft der Exponentialfunktion folgt.