Wie berechnet man die Häufungspunkte der Folge a_n = (1/n) + 2 * (-1)^n?

Um die Häufungspunkte der Folge \( a_n = \frac{1}{n} + 2(-1)^n \) zu berechnen, betrachte die beiden Terme der Folge getrennt:

1. Der Term \(\frac{1}{n}\) konvergiert gegen 0, wenn \( n \) gegen unendlich geht.
2. Der Term \( 2(-1)^n \) wechselt zwischen 2 und -2, je nachdem, ob \( n \) gerade oder ungerade ist.

Betrachte die beiden Teilfolgen:

- Für gerade \( n \) (also \( n = 2k \) für \( k \in \mathbb{N} \)):
\[
a_{2k} = \frac{1}{2k} + 2(-1)^{2k} = \frac{1}{2k} + 2
\]
Da \(\frac{1}{2k} \) gegen 0 konvergiert, konvergiert \( a_{2k} \) gegen 2.

- Für ungerade \( n \) (also \( n = 2k+1 \) für \( k \in \mathbb{N} \)):
\[
a_{2k+1} = \frac{1}{2k+1} + 2(-1)^{2k+1} = \frac{1}{2k+1} - 2
\]
Da \(\frac{1}{2k+1} \) gegen 0 konvergiert, konvergiert \( a_{2k+1} \) gegen -2.

Daher hat die Folge \( a_n = \frac{1}{n} + 2(-1)^n \) zwei Häufungspunkte: 2 und -2.