Welche Hyperbeln y = c/(x - a) + b sind identisch mit ihrer Umkehrfunktion? Mathematische Begründung?

Um zu bestimmen, welche Hyperbeln der Form \( y = \frac{c}{x - a} + b \) identisch mit ihrer Umkehrfunktion sind, müssen wir die Umkehrfunktion \( f^{-1}(y) \) finden und diese mit der ursprünglichen Funktion \( f(x) \) vergleichen.

1. **Ursprüngliche Funktion**:
\[
y = \frac{c}{x - a} + b
\]
Umgestellt nach \( x \):
\[
y - b = \frac{c}{x - a}
\]
\[
(y - b)(x - a) = c
\]
\[
x - a = \frac{c}{y - b}
\]
\[
x = \frac{c}{y - b} + a
\]

2. **Umkehrfunktion**:
Die Umkehrfunktion ist also:
\[
f^{-1}(y) = \frac{c}{y - b} + a
\]

3. **Identität der Funktion und ihrer Umkehrfunktion**:
Um zu prüfen, ob \( f(x) = f^{-1}(y) \) gilt, setzen wir \( y = f(x) \) in die Umkehrfunktion ein:
\[
f(f(x)) = f\left(\frac{c}{x - a} + b\right)
\]
Setzen wir \( y = \frac{c}{x - a} + b \) in die Umkehrfunktion ein:
\[
f^{-1}\left(\frac{c}{x - a} + b\right) = \frac{c}{\left(\frac{c}{x - a} + b\right) - b} + a
\]
\[
= \frac{c}{\frac{c}{x - a}} + a = x - a + a = x
\]

4. **Bedingung für Identität**:
Damit die Funktion identisch mit ihrer Umkehrfunktion ist, muss gelten:
\[
f(x) = x
\]
Das bedeutet:
\[
\frac{c}{x - a} + b = x
\]
Um dies zu lösen, bringen wir alle Terme auf eine Seite:
\[
\frac{c}{x - a} = x - b
\]
Multiplizieren wir beide Seiten mit \( x - a \):
\[
c = (x - b)(x - a)
\]
Dies ist eine quadratische Gleichung in \( x \). Damit diese Gleichung für alle \( x \) gilt, müssen die Koeffizienten so gewählt werden, dass die Gleichung konstant ist, was nur für spezielle Werte von \( a, b, c \) möglich ist.

Zusammenfassend sind die Hyperbeln identisch mit ihrer Umkehrfunktion, wenn die Gleichung \( c = (x - b)(x - a) \) für alle \( x \) gilt, was nur für spezielle Werte von \( a, b, c \) der Fall ist. Ein Beispiel wäre, wenn \( c = 0 \), was zu einer konstanten Funktion führt.