Um die Häufungspunkte der Menge \( \left\{ \frac{1}{n} + \frac{2}{m} : m, n \in \mathbb{N} \right\} \) zu bestimmen, betrachten wir die Ausdrücke \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) für natürliche Zahlen \( m \) und \( n \). 1. **Untersuchung der Menge:** - Für \( n \) und \( m \) in \( \mathbb{N} \), sind \( \frac{1}{n} \) und \( \frac{2}{m} \) positive rationale Zahlen. - Wenn \( n \) und \( m \) gegen unendlich gehen, dann gehen sowohl \( \frac{1}{n} \) als auch \( \frac{2}{m} \) gegen 0. 2. **Grenzwerte:** - Der Ausdruck \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) kann beliebig klein werden, aber niemals 0 erreichen, da \( \frac{1}{n} \) und \( \frac{2}{m} \) immer positiv sind. - Der kleinste Wert, den \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) annehmen kann, ist, wenn \( n \) und \( m \) sehr groß sind, was gegen 0 geht. 3. **Häufungspunkte:** - Ein Häufungspunkt einer Menge ist ein Punkt, in dessen Umgebung unendlich viele Elemente der Menge liegen. - Da \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} \) für große \( n \) und \( m \) gegen 0 geht, ist 0 ein Häufungspunkt. - Für jeden positiven Wert \( \epsilon \), kann man \( n \) und \( m \) so wählen, dass \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} < \epsilon \), was bedeutet, dass es in jeder Umgebung von 0 unendlich viele Elemente der Menge gibt. 4. **Beweis:** - Sei \( \epsilon > 0 \). Wähle \( N \) so groß, dass \( \frac{1}{N} < \frac{\epsilon}{2} \) und \( M \) so groß, dass \( \frac{2}{M} < \frac{\epsilon}{2} \). - Dann ist \( \frac{1}{N} + \frac{2}{M} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \). - Da \( N \) und \( M \) beliebig groß gewählt werden können, gibt es unendlich viele Paare \( (n, m) \), sodass \( \frac{1}{n} + \frac{2}{m} < \epsilon \). Daher ist der einzige Häufungspunkt der Menge \( \left\{ \frac{1}{n} + \frac{2}{m} : m, n \in \mathbb{N} \right\} \) der Punkt 0.