Wie berechnet man die Häufungspunkte der Folge a_n = n-te Wurzel aus 2 + cos(n*pi)?

Um die Häufungspunkte der Folge \( a_n = \sqrt[n]{2} + \cos(n\pi) \) zu berechnen, müssen wir das Verhalten der beiden Terme \( \sqrt[n]{2} \) und \( \cos(n\pi) \) untersuchen.

1. **Term \( \sqrt[n]{2} \):**
- Der Ausdruck \( \sqrt[n]{2} \) konvergiert gegen 1, wenn \( n \) gegen unendlich geht. Das liegt daran, dass \( \sqrt[n]{2} = 2^{1/n} \) und \( 2^{1/n} \) gegen 1 konvergiert, da \( 1/n \) gegen 0 geht.

2. **Term \( \cos(n\pi) \):**
- Der Ausdruck \( \cos(n\pi) \) wechselt zwischen 1 und -1, je nachdem, ob \( n \) gerade oder ungerade ist:
- Wenn \( n \) gerade ist, dann ist \( \cos(n\pi) = 1 \).
- Wenn \( n \) ungerade ist, dann ist \( \cos(n\pi) = -1 \).

Nun kombinieren wir diese beiden Ergebnisse:

- Für gerade \( n \):
\[
a_n = \sqrt[n]{2} + 1
\]
Da \( \sqrt[n]{2} \) gegen 1 konvergiert, konvergiert \( a_n \) gegen \( 1 + 1 = 2 \).

- Für ungerade \( n \):
\[
a_n = \sqrt[n]{2} - 1
\]
Da \( \sqrt[n]{2} \) gegen 1 konvergiert, konvergiert \( a_n \) gegen \( 1 - 1 = 0 \).

Daher sind die Häufungspunkte der Folge \( a_n = \sqrt[n]{2} + \cos(n\pi) \) die Werte 0 und 2.