Wie berechnet man die Häufungspunkte der Folge a_n = (1 + ((-1)^n / n))^n?

Um die Häufungspunkte der Folge \( a_n = \left(1 + \frac{(-1)^n}{n}\right)^n \) zu berechnen, kann man die Folge für gerade und ungerade \( n \) getrennt betrachten.

1. **Für gerade \( n \):**
Wenn \( n \) gerade ist, dann ist \( (-1)^n = 1 \). Die Folge wird dann zu:
\[
a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
\]
Es ist bekannt, dass:
\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e
\]
Daher konvergiert die Teilfolge \( a_{2k} \) (für gerade \( n \)) gegen \( e \).

2. **Für ungerade \( n \):**
Wenn \( n \) ungerade ist, dann ist \( (-1)^n = -1 \). Die Folge wird dann zu:
\[
a_n = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n
\]
Es ist bekannt, dass:
\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}
\]
Daher konvergiert die Teilfolge \( a_{2k+1} \) (für ungerade \( n \)) gegen \( \frac{1}{e} \).

Zusammengefasst hat die Folge \( a_n = \left(1 + \frac{(-1)^n}{n}\right)^n \) zwei Häufungspunkte:
- \( e \) für die Teilfolge der geraden \( n \)
- \( \frac{1}{e} \) für die Teilfolge der ungeraden \( n \)