Bestimme das größtmögliche R≥0 für die absolute Konvergenz der Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (x^k)/k² mit |x|<R.

Um das größtmögliche \( R \geq 0 \) zu bestimmen, für das die Reihe

\[
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k^2}
\]

für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) absolut konvergiert, können wir den Wurzel- oder den Quotiententest verwenden. Hier verwenden wir den Quotiententest.

Betrachten wir den allgemeinen Term der Reihe:

\[
a_k = \frac{x^k}{k^2}.
\]

Wir berechnen den Quotienten \( \frac{a_{k+1}}{a_k} \):

\[
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{x^{k+1}}{(k+1)^2}}{\frac{x^k}{k^2}} = \frac{x^{k+1} \cdot k^2}{x^k \cdot (k+1)^2} = \frac{x \cdot k^2}{(k+1)^2}.
\]

Für große \( k \) vereinfacht sich dieser Ausdruck zu:

\[
\frac{a_{k+1}}{a_k} \approx \frac{x \cdot k^2}{k^2} = x.
\]

Der Quotiententest besagt, dass die Reihe konvergiert, wenn der Grenzwert des Quotienten kleiner als 1 ist:

\[
|x| < 1.
\]

Das bedeutet, dass die Reihe für \( |x| < 1 \) absolut konvergiert. Daher ist das größtmögliche \( R \) gleich 1.

Zusammenfassend ergibt sich:

\[
R = 1.000.
\]