lim x→1 (1-x) / (1-√x)?

Question

lim x→1 (1-x) / (1-√x)?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie kann man mit l'Hospital begründen, dass e^x schneller wächst als x^n?

Wie bestimme ich den Grenzwert von e-Funktionen?

Bestimme das größtmögliche R≥0, dass die Reihe ∑ (von k=1 bis ∞) (k!)/(k^k) * x^k für alle x∈R mit |x|<R absolut konvergiert. Ergebnis auf drei Nachkommastellen?

Was ist der Grenzwert von e^x/x?

Wann kann ich die L'Hospital-Regel anwenden?

Accepted Answer

Um den Grenzwert \(\lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}}\) zu berechnen, kann man die Regel von L'Hôpital anwenden, da der Ausdruck die Form \(\frac{0}{0}\) hat. 1. Zunächst überprüfe, ob die Regel von L'Hôpital anwendbar ist: \[ \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}} = \frac{0}{0} \] 2. Wende die Regel von L'Hôpital an, indem du die Ableitungen des Zählers und des Nenners bildest: \[ \text{Zähler: } \frac{d}{dx}(1 - x) = -1 \] \[ \text{Nenner: } \frac{d}{dx}(1 - \sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(1 - x^{1/2}) = -\frac{1}{2} x^{-1/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \] 3. Setze die Ableitungen in den Grenzwert ein: \[ \lim_{x \to 1} \frac{-1}{-\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to 1} \frac{-1}{-\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to 1} \frac{-1 \cdot 2\sqrt{x}}{-1} = \lim_{x \to 1} 2\sqrt{x} \] 4. Berechne den Grenzwert: \[ \lim_{x \to 1} 2\sqrt{x} = 2\sqrt{1} = 2 \] Der Grenzwert ist also: \[ \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}} = 2 \]

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \), kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1.... [mehr]

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \), kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1. **Betrachte den Grenzwert**: Wir wollen den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) untersuchen, wenn \( x \) gegen unendlich geht: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} \] 2. **Form des Grenzwerts**: Wenn \( x \) gegen unendlich geht, wächst \( e^x \) exponentiell, während \( x^n \) polynomial wächst. Daher hat der Grenzwert die Form \( \frac{\infty}{\infty} \), was die Anwendung der Regel von l'Hôpital rechtfertigt. 3. **Anwendung der Regel von l'Hôpital**: Wir leiten den Zähler und den Nenner ab: - Der Zähler \( x^n \) hat die Ableitung \( n x^{n-1} \). - Der Nenner \( e^x \) hat die Ableitung \( e^x \). Somit erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{e^x} \] 4. **Wiederhole die Anwendung**: Da der neue Zähler \( n x^{n-1} \) immer noch ein Polynom ist, können wir die Regel von l'Hôpital erneut anwenden. Nach \( n \) Anwendungen erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 \] 5. **Schlussfolgerung**: Da der Grenzwert \( 0 \) ist, folgt, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \implies e^x \text{ wächst schneller als } x^n. \] Damit ist bewiesen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \).

Accepted Answer

Um den Grenzwert von Exponentialfunktionen (e-Funktionen) zu bestimmen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Identifiziere die Funktion**: Bestimme die Funktion, deren Grenzwert du berechnen m&... [mehr]

Accepted Answer

Um den Grenzwert von Exponentialfunktionen (e-Funktionen) zu bestimmen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Identifiziere die Funktion**: Bestimme die Funktion, deren Grenzwert du berechnen möchtest, z.B. \( f(x) = e^{g(x)} \), wobei \( g(x) \) eine Funktion ist, die von \( x \) abhängt. 2. **Bestimme den Grenzwert von \( g(x) \)**: Berechne den Grenzwert von \( g(x) \) für \( x \) gegen einen bestimmten Wert (z.B. \( x \to a \)). Das kann durch direkte Substitution, Faktorisierung oder L'Hôpital's Regel geschehen, falls der Grenzwert eine unbestimmte Form ergibt. 3. **Setze den Grenzwert in die Exponentialfunktion ein**: Wenn der Grenzwert von \( g(x) \) existiert und gleich \( L \) ist, dann gilt: \[ \lim_{x \to a} e^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x)} = e^L \] 4. **Berücksichtige spezielle Fälle**: Achte auf spezielle Fälle wie \( g(x) \to \infty \) oder \( g(x) \to -\infty \), da dies den Grenzwert von \( e^{g(x)} \) beeinflusst: - Wenn \( g(x) \to \infty \), dann \( e^{g(x)} \to \infty \). - Wenn \( g(x) \to -\infty \), dann \( e^{g(x)} \to 0 \). 5. **Prüfe die Bedingungen**: Stelle sicher, dass die Bedingungen für die Anwendung der Grenzwertregeln erfüllt sind. Durch diese Schritte kannst du den Grenzwert von e-Funktionen systematisch bestimmen.

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Um den größtmöglichen Radius \( R \) zu bestimmen, für den die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^k} x^k \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) abso... [mehr]

Accepted Answer

Um den größtmöglichen Radius \( R \) zu bestimmen, für den die Reihe \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{k^k} x^k \] für alle \( x \in \mathbb{R} \) mit \( |x| < R \) absolut konvergiert, verwenden wir den Wurzel- oder Quotiententest. Hier ist der Quotiententest anwendbar. Betrachten wir den allgemeinen Term der Reihe: \[ a_k = \frac{k!}{k^k} x^k. \] Wir berechnen den Quotienten \( \frac{a_{k+1}}{a_k} \): \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}} x^{k+1} \cdot \frac{k^k}{k! x^k} = \frac{(k+1) k^k}{(k+1)^{k+1}} x = \frac{k^k}{(k+1)^k} x. \] Nun vereinfachen wir den Ausdruck: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} = \left( \frac{k}{k+1} \right)^k x. \] Für große \( k \) gilt: \[ \left( \frac{k}{k+1} \right)^k = \left( 1 - \frac{1}{k+1} \right)^k \approx e^{-1} \quad \text{(nach dem Grenzwert von } \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n \text{)}. \] Somit ergibt sich: \[ \frac{a_{k+1}}{a_k} \approx e^{-1} x. \] Für die Konvergenz der Reihe muss der Grenzwert des Quotienten kleiner als 1 sein: \[ |e^{-1} x| < 1 \implies |x| < e. \] Daraus folgt, dass der Radius der Konvergenz \( R = e \) ist. Das Ergebnis auf drei Nachkommastellen lautet: \[ R \approx 2.718. \]

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Der Grenzwert von \(\frac{e^x}{x}\) für \(x\) gegen 0 ist nicht definiert, da der Ausdruck für \(x = 0\) nicht definiert ist (wir erhalten eine Division durch Null). Wenn du jedoch den Grenz... [mehr]

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Der Grenzwert von \(\frac{e^x}{x}\) für \(x\) gegen 0 ist nicht definiert, da der Ausdruck für \(x = 0\) nicht definiert ist (wir erhalten eine Division durch Null). Wenn du jedoch den Grenzwert für \(x\) gegen unendlich betrachtest, dann gilt: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x} = \infty \] Das bedeutet, dass der Ausdruck unendlich groß wird, wenn \(x\) immer größer wird.

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Die l'Hospital-Regel kann angewendet werden, wenn du den Grenzwert eines Quotienten von zwei Funktionen untersuchen möchtest und dabei auf eine unbestimmte Form stößt, wie zum Bei... [mehr]

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Die l'Hospital-Regel kann angewendet werden, wenn du den Grenzwert eines Quotienten von zwei Funktionen untersuchen möchtest und dabei auf eine unbestimmte Form stößt, wie zum Beispiel \( \frac{0}{0} \) oder \( \frac{\infty}{\infty} \). Die Regel besagt, dass du den Grenzwert des Quotienten der Ableitungen der beiden Funktionen betrachten kannst. Das bedeutet, wenn \( \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} \) eine unbestimmte Form ergibt, dann gilt: \[ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \] vorausgesetzt, der Grenzwert auf der rechten Seite existiert oder ist unendlich. Du kannst die Regel mehrmals anwenden, falls du weiterhin auf eine unbestimmte Form stößt.