Um den Grenzwert \(\lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}}\) zu berechnen, kann man die Regel von L'Hôpital anwenden, da der Ausdruck die Form \(\frac{0}{0}\) hat. 1. Zunächst überprüfe, ob die Regel von L'Hôpital anwendbar ist: \[ \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}} = \frac{0}{0} \] 2. Wende die Regel von L'Hôpital an, indem du die Ableitungen des Zählers und des Nenners bildest: \[ \text{Zähler: } \frac{d}{dx}(1 - x) = -1 \] \[ \text{Nenner: } \frac{d}{dx}(1 - \sqrt{x}) = \frac{d}{dx}(1 - x^{1/2}) = -\frac{1}{2} x^{-1/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \] 3. Setze die Ableitungen in den Grenzwert ein: \[ \lim_{x \to 1} \frac{-1}{-\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to 1} \frac{-1}{-\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to 1} \frac{-1 \cdot 2\sqrt{x}}{-1} = \lim_{x \to 1} 2\sqrt{x} \] 4. Berechne den Grenzwert: \[ \lim_{x \to 1} 2\sqrt{x} = 2\sqrt{1} = 2 \] Der Grenzwert ist also: \[ \lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}} = 2 \]