Wie bestimme ich den Grenzwert mit der Formel für die geometrische Reihe?

Question

Wie bestimme ich den Grenzwert mit der Formel für die geometrische Reihe?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie kann man mit l'Hospital begründen, dass e^x schneller wächst als x^n?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer geometrischen Reihe kann mit der Formel für die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe bestimmt werden. Eine geometrische Reihe hat die Form: \[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots \] Hierbei ist \( a \) der erste Term und \( r \) der gemeinsame Faktor (der Quotient zwischen aufeinanderfolgenden Termen). Die Summe \( S \) einer unendlichen geometrischen Reihe konvergiert, wenn der Betrag des gemeinsamen Faktors \( r \) kleiner als 1 ist (\( |r| < 1 \)). In diesem Fall gilt: \[ S = \frac{a}{1 - r} \] Wenn \( |r| \geq 1 \), divergiert die Reihe und hat keinen Grenzwert. Zusammenfassend: Um den Grenzwert einer geometrischen Reihe zu bestimmen, überprüfe, ob \( |r| < 1 \) ist, und verwende dann die Formel \( S = \frac{a}{1 - r} \).

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \), kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1.... [mehr]

Accepted Answer

Um zu zeigen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \), kann man die Regel von l'Hôpital verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Ansatz: 1. **Betrachte den Grenzwert**: Wir wollen den Grenzwert von \( \frac{x^n}{e^x} \) untersuchen, wenn \( x \) gegen unendlich geht: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} \] 2. **Form des Grenzwerts**: Wenn \( x \) gegen unendlich geht, wächst \( e^x \) exponentiell, während \( x^n \) polynomial wächst. Daher hat der Grenzwert die Form \( \frac{\infty}{\infty} \), was die Anwendung der Regel von l'Hôpital rechtfertigt. 3. **Anwendung der Regel von l'Hôpital**: Wir leiten den Zähler und den Nenner ab: - Der Zähler \( x^n \) hat die Ableitung \( n x^{n-1} \). - Der Nenner \( e^x \) hat die Ableitung \( e^x \). Somit erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{e^x} \] 4. **Wiederhole die Anwendung**: Da der neue Zähler \( n x^{n-1} \) immer noch ein Polynom ist, können wir die Regel von l'Hôpital erneut anwenden. Nach \( n \) Anwendungen erhalten wir: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0 \] 5. **Schlussfolgerung**: Da der Grenzwert \( 0 \) ist, folgt, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \implies e^x \text{ wächst schneller als } x^n. \] Damit ist bewiesen, dass \( e^x \) schneller wächst als \( x^n \) für jedes feste \( n \).