Gegeben sind die Punkte A(3/1/2), B(6/2/2), C(4/9/-2). Bestimme die Gleichung der Geraden k, die parallel zu g durch B verläuft.

Um die Gleichung der Geraden \( k \) zu bestimmen, die parallel zu einer gegebenen Geraden \( g \) verläuft und durch den Punkt \( B(6, 2, 2) \) geht, benötigen wir zunächst die Richtungsvektoren der Geraden. Zuerst bestimmen wir den Richtungsvektor \( \vec{AB} \) von Punkt \( A \) nach Punkt \( B \): \[ \vec{AB} = B - A = (6 - 3, 2 - 1, 2 - 2) = (3,1, 0) \] Nun bestimmen wir den Richtungsvektor \( \vec{AC} \) von Punkt \( A \) nach Punkt \( C \): \[ \vec{AC} = C - A = (4 - 3, 9 - 1, -2 - 2) = (1, 8, -4) \] Die Gerade \( g \) wird durch den Punkt \( A \) und den Richtungsvektor \( \vec{AC} \) beschrieben. Da die Gerade \( k \) parallel zu \( g \) verlaufen soll, hat sie denselben Richtungsvektor \( \vec{AC} \). Die Gleichung der Geraden \( k \), die durch den Punkt \( B \) verläuft und den Richtungsvektor \( \vec{AC} \) hat, kann in der Parameterform geschrieben werden als: \[ k(t) = B + t \cdot \vec{AC} \] Setzen wir die Koordinaten von \( B \) und den Richtungsvektor \( \vec{AC} \) ein: \[ k(t) = (6, 2, 2) + t \cdot (1, 8, -4) \] Das ergibt: \[ k(t) = (6 + t, 2 + 8t, 2 - 4t) \] Somit ist die Gleichung der Geraden \( k \): \[ k(t) = (6 + t, 2 + 8t, 2 - 4t) \] für \( t \in \mathbb{R} \).