Gegeben sind die Punkte A(3/1/2), B(6/2/2), C(4/9/-2). Bestimme die Gleichung der Geraden k, die parallel zu g durch B verläuft.

Question

Gegeben sind die Punkte A(3/1/2), B(6/2/2), C(4/9/-2). Bestimme die Gleichung der Geraden k, die parallel zu g durch B verläuft.

Antwort

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Was ist die Einteilung eines Koordinatensystems?

Wie lautet die Gleichung der Symmetriachse des Graphen von g?

Ist e^(-x^2) eine gerade Funktion?

Ist e^(x/2) ungerade oder gerade?

Accepted Answer

Um die Gleichung der Geraden \( k \) zu bestimmen, die parallel zu einer gegebenen Geraden \( g \) verläuft und durch den Punkt \( B(6, 2, 2) \) geht, benötigen wir zunächst die Richtungsvektoren der Geraden. Zuerst bestimmen wir den Richtungsvektor \( \vec{AB} \) von Punkt \( A \) nach Punkt \( B \): \[ \vec{AB} = B - A = (6 - 3, 2 - 1, 2 - 2) = (3,1, 0) \] Nun bestimmen wir den Richtungsvektor \( \vec{AC} \) von Punkt \( A \) nach Punkt \( C \): \[ \vec{AC} = C - A = (4 - 3, 9 - 1, -2 - 2) = (1, 8, -4) \] Die Gerade \( g \) wird durch den Punkt \( A \) und den Richtungsvektor \( \vec{AC} \) beschrieben. Da die Gerade \( k \) parallel zu \( g \) verlaufen soll, hat sie denselben Richtungsvektor \( \vec{AC} \). Die Gleichung der Geraden \( k \), die durch den Punkt \( B \) verläuft und den Richtungsvektor \( \vec{AC} \) hat, kann in der Parameterform geschrieben werden als: \[ k(t) = B + t \cdot \vec{AC} \] Setzen wir die Koordinaten von \( B \) und den Richtungsvektor \( \vec{AC} \) ein: \[ k(t) = (6, 2, 2) + t \cdot (1, 8, -4) \] Das ergibt: \[ k(t) = (6 + t, 2 + 8t, 2 - 4t) \] Somit ist die Gleichung der Geraden \( k \): \[ k(t) = (6 + t, 2 + 8t, 2 - 4t) \] für \( t \in \mathbb{R} \).

Accepted Answer

Ein Koordinatensystem ist ein System zur eindeutigen Bestimmung von Punkten im Raum durch Zahlenpaare oder -tripel. Die häufigste Einteilung erfolgt in zwei Dimensionen (2D) und drei Dimensionen... [mehr]

Accepted Answer

Ein Koordinatensystem ist ein System zur eindeutigen Bestimmung von Punkten im Raum durch Zahlenpaare oder -tripel. Die häufigste Einteilung erfolgt in zwei Dimensionen (2D) und drei Dimensionen (3D). 1. **Zweidimensionales Koordinatensystem (2D)**: - **Achsen**: Es gibt zwei Achsen, die x-Achse (horizontal) und die y-Achse (vertikal). - **Koordinaten**: Ein Punkt wird durch ein Paar von Zahlen (x, y) dargestellt, wobei x den Abstand zur y-Achse und y den Abstand zur x-Achse angibt. - **Quadranten**: Das 2D-Koordinatensystem ist in vier Quadranten unterteilt: - Quadrant I: x > 0, y > 0 - Quadrant II: x < 0, y > 0 - Quadrant III: x < 0, y < 0 - Quadrant IV: x > 0, y < 0 2. **Dreidimensionales Koordinatensystem (3D)**: - **Achsen**: Es gibt drei Achsen: x-Achse, y-Achse und z-Achse. - **Koordinaten**: Ein Punkt wird durch ein Tripel von Zahlen (x, y, z) dargestellt, wobei z den Abstand zur xy-Ebene angibt. - **Raum**: Das 3D-Koordinatensystem ermöglicht die Darstellung von Punkten im Raum und ist nicht in Quadranten unterteilt, sondern in acht Oktanten. Diese Einteilungen helfen dabei, geometrische Formen, Funktionen und Daten im Raum zu analysieren und darzustellen.

Accepted Answer

Um die Gleichung der Symmetrieachse eines Graphen \( g \) anzugeben, musst du zunächst bestimmen, um welche Art von Funktion es sich handelt. Hier sind die Schritte, die du befolgen kannst: 1. *... [mehr]

Accepted Answer

Um die Gleichung der Symmetrieachse eines Graphen \( g \) anzugeben, musst du zunächst bestimmen, um welche Art von Funktion es sich handelt. Hier sind die Schritte, die du befolgen kannst: 1. **Identifiziere die Funktion**: Bestimme, ob es sich um eine gerade oder ungerade Funktion handelt. Eine gerade Funktion hat die Eigenschaft \( g(-x) = g(x) \) und ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Eine ungerade Funktion erfüllt \( g(-x) = -g(x) \) und ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. **Symmetrieachse finden**: - **Für gerade Funktionen**: Die Symmetrieachse ist die y-Achse, also die Gleichung \( x = 0 \). - **Für ungerade Funktionen**: Es gibt keine Symmetrieachse im klassischen Sinne, da sie punktsymmetrisch sind. 3. **Für quadratische Funktionen**: Wenn \( g(x) \) eine quadratische Funktion der Form \( g(x) = ax^2 + bx + c \) ist, kannst du die Symmetrieachse mit der Formel \( x = -\frac{b}{2a} \) bestimmen. 4. **Allgemeine Funktionen**: Bei anderen Funktionen kann die Symmetrieachse durch Analyse der Funktion oder durch Ableitungen gefunden werden, um kritische Punkte zu bestimmen. Wenn du die spezifische Funktion \( g \) angibst, kann eine genauere Antwort gegeben werden.

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Accepted Answer

Ja, die Funktion \( e^{-x^2} \) ist eine gerade Funktion. Eine Funktion \( f(x) \) ist gerade, wenn gilt: \( f(-x) = f(x) \) für alle \( x \) im Definitionsbereich der Funktion. Für \( f(x) = e^{-x^2} \) gilt: \[ f(-x) = e^{-(-x)^2} = e^{-x^2} = f(x) \] Da diese Gleichung für alle \( x \) zutrifft, ist \( e^{-x^2} \) eine gerade Funktion.

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Die Funktion \( f(x) = \frac{e^x}{2} \) ist eine gerade Funktion. Eine Funktion ist gerade, wenn gilt: \( f(-x) = f(x) \) für alle \( x \). Für \( f(x) = \frac{e^x}{2} \) gilt: \[ f(-x) =... [mehr]

Accepted Answer

Die Funktion \( f(x) = \frac{e^x}{2} \) ist eine gerade Funktion. Eine Funktion ist gerade, wenn gilt: \( f(-x) = f(x) \) für alle \( x \). Für \( f(x) = \frac{e^x}{2} \) gilt: \[ f(-x) = \frac{e^{-x}}{2} = \frac{1}{2e^x} \] Da \( f(-x) \) nicht gleich \( f(x) \) ist, ist die Funktion nicht gerade. Zusammenfassend: \( \frac{e^x}{2} \) ist weder gerade noch ungerade.