Finde alle geordneten Paare von natürlichen Zahlen größer als null, deren Produkt 8-mal so groß ist wie ihre Summe.

Um die geordneten Paare \((x, y)\) von natürlichen Zahlen größer als null zu finden, deren Produkt \(xy\) genau 8-mal so groß ist wie ihre Summe \(x + y\), stellen wir die Gleichung auf: \[ xy = 8(x + y) \] Um diese Gleichung zu lösen, bringen wir alle Terme auf eine Seite: \[ xy - 8x - 8y = 0 \] Wir können die Gleichung umformen: \[ xy - 8x - 8y + 64 = 64 \] Das lässt sich als Produkt faktorisieren: \[ (x - 8)(y - 8) = 64 \] Nun müssen wir die positiven Teiler von 64 finden, da \(x - 8\) und \(y - 8\) natürliche Zahlen sein müssen. Die positiven Teiler von 64 sind: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Für jeden Teiler \(d\) setzen wir \(x - 8 = d\) und \(y - 8 = \frac{64}{d}\). Daraus ergeben sich die Werte für \(x\) und \(y\): \[ x = d + 8 \] \[ y = \frac{64}{d} + 8 \] Nun berechnen wir die Paare: 1. \(d = 1\): \(x = 1 + 8 = 9\), \(y = \frac{64}{1} + 8 = 72\) → \((9, 72)\) 2. \(d = 2\): \(x = 2 + 8 = 10\), \(y = \frac{64}{2} + 8 = 40\) → \((10, 40)\) 3. \(d = 4\): \(x = 4 + 8 = 12\), \(y = \frac{64}{4} + 8 = 24\) → \((12, 24)\) 4. \(d = 8\): \(x = 8 + 8 = 16\), \(y = \frac{64}{8} + 8 = 16\) → \((16, 16)\) 5. \(d = 16\): \(x = 16 + 8 = 24\), \(y = \frac{64}{16} + 8 = 16\) → \((24, 16)\) 6. \(d = 32\): \(x = 32 + 8 = 40\), \(y = \frac{64}{32} + 8 = 10\) → \((40, 10)\) 7. \(d = 64\): \(x = 64 + 8 = 72\), \(y = \frac{64}{64} + 8 = 9\) → \((72, 9)\) Die geordneten Paare \((x, y)\), die die Bedingung erfüllen, sind: \[ (9, 72), (10, 40), (12, 24), (16, 16), (24, 16), (40, 10), (72, 9) \]