Berechne eine Funktionsgleichung 3. Grades mit den Wertepaaren (0/300), (50/200) und (100/100).

Um eine Funktionsgleichung dritten Grades (Polynom dritten Grades) zu finden, die durch die Punkte (0, 300), (50, 200) und (100, 100) verläuft, kannst du die allgemeine Form eines solchen Polynoms verwenden: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \] Da du vier Unbekannte (a, b, c, d) hast, benötigst du vier Punkte, um das System zu lösen. Da du nur drei Punkte hast, kannst du einen zusätzlichen Punkt annehmen, um das System zu vervollständigen. Ein einfacher Ansatz ist, d als den y-Achsenabschnitt zu setzen, was bedeutet, dass du den Punkt (0, 300) verwendest, um d zu bestimmen. 1. Setze \( x = 0 \) in die Gleichung ein: \[ f(0) = d = 300 \] Jetzt hast du: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 300 \] 2. Setze die anderen Punkte ein, um die Gleichungen zu erstellen: Für den Punkt (50, 200): \[ 200 = a(50)^3 + b(50)^2 + c(50) + 300 \] \[ 200 = 125000a + 2500b + 50c + 300 \] \[ 125000a + 2500b + 50c = -100 \] (Gleichung 1) Für den Punkt (100, 100): \[ 100 = a(100)^3 + b(100)^2 + c(100) + 300 \] \[ 100 = 1000000a + 10000b + 100c + 300 \] \[ 1000000a + 10000b + 100c = -200 \] (Gleichung 2) Jetzt hast du ein System von zwei Gleichungen mit drei Unbekannten (a, b, c). Um eine Lösung zu finden, kannst du eine der Variablen (z.B. c) in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. 3. Löse das Gleichungssystem: Aus Gleichung 1: \[ 50c = -100 - 125000a - 2500b \] \[ c = \frac{-100 - 125000a - 2500b}{50} \] \[ c = -2 - 2500a - 50b \] Setze c in Gleichung 2 ein: \[ 1000000a + 10000b + 100(-2 - 2500a - 50b) = -200 \] \[ 1000000a + 10000b - 200 - 250000a - 5000b = -200 \] \[ 750000a + 5000b = 0 \] \[ 150a + b = 0 \] \[ b = -150a \] 4. Setze b zurück in die Gleichung für c: \[ c = -2 - 2500a - 50(-150a) \] \[ c = -2 - 2500a + 7500a \] \[ c = -2 + 5000a \] Jetzt hast du: - \( b = -150a \) - \( c = -2 + 5000a \) 5. Wähle einen Wert für a, um die anderen Werte zu bestimmen. Zum Beispiel, setze \( a = 0 \): - \( b = 0 \) - \( c = -2 \) Das ergibt die Funktion: \[ f(x) = 0x^3 + 0x^2 - 2x + 300 \] \[ f(x) = -2x + 300 \] Das ist eine lineare Funktion, die durch die Punkte verläuft. Um eine kubische Funktion zu finden, musst du einen anderen Wert für a wählen. Die endgültige Funktionsgleichung kann variieren, je nachdem, welchen Wert du für a wählst. Es gibt unendlich viele Lösungen, da du nur drei Punkte hast.