Steigung in Prozent rechnest du mit: Höhenunterschied ÷ waagerechte Strecke × 100. Beispiel: Geht ein Weg 5 Meter nach oben und verläuft 100 Meter waagerecht, dann ist die Stei...
Berechne mit Hilfe der Formel a) den Ausdruck b) für n = 2023.
Antwort vomUm die Berechnung durchzuführen, nutzen wir die gegebene Formel aus Teil a) und die Eigenschaften von Summen. 1. **Berechnung von \(\sum_{k=1}^{2023} (k + 1)^2\)**: \[ \sum_{k=1}^{2023} (k + 1)^2 = \sum_{k=1}^{2023} (k^2 + 2k + 1) = \sum_{k=1}^{2023} k^2 + 2\sum_{k=1}^{2023} k + \sum_{k=1}^{2023} 1 \] - \(\sum_{k=1}^{2023} k^2 = \frac{2023(2023 + 1)(2 \cdot 2023 + 1)}{6} = \frac{2023 \cdot 2024 \cdot 4047}{6}\) - \(\sum_{k=1}^{2023} k = \frac{2023(2023 + 1)}{2} = \frac{2023 \cdot 2024}{2}\) - \(\sum_{k=1}^{2023} 1 = 2023\) Setzen wir die Werte ein: \[ \sum_{k=1}^{2023} (k + 1)^2 = \frac{2023 \cdot 2024 \cdot 4047}{6} + 2 \cdot \frac{2023 \cdot 2024}{2} + 2023 \] \[ = \frac{2023 \cdot 2024 \cdot 4047}{6} + 2023 \cdot 2024 + 2023 \] 2. **Berechnung von \(\sum_{k=1}^{2024} (k - 2)\)**: \[ \sum_{k=1}^{2024} (k - 2) = \sum_{k=1}^{2024} k - \sum_{k=1}^{2024} 2 = \sum_{k=1}^{2024} k - 2 \cdot 2024 \] - \(\sum_{k=1}^{2024} k = \frac{2024(2024 + 1)}{2} = \frac{2024 \cdot 2025}{2}\) Setzen wir die Werte ein: \[ \sum_{k=1}^{2024} (k - 2) = \frac{2024 \cdot 2025}{2} - 2 \cdot 2024 \] 3. **Setzen wir alles zusammen**: \[ \sum_{k=1}^{2023} (k + 1)^2 - 2 \cdot \sum_{k=1}^{2024} (k - 2) \] \[ = \left( \frac{2023 \cdot 2024 \cdot 4047}{6} + 2023 \cdot 2024 + 2023 \right) - 2 \left( \frac{2024 \cdot 2025}{2} - 2 \cdot 2024 \right) \] Dies vereinfacht sich weiter, indem du die Werte berechnest und zusammenfasst. Die endgültige Berechnung erfordert die Auswertung der oben genannten Ausdrücke.
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