Ist die Folge ((k+2)!)_{k∈N} eine Teilfolge von (2n)_{n∈N}?

Um zu überprüfen, ob die Folge \(((k+2)!)_{k \in \mathbb{N}}\) eine Teilfolge von \((2n)_{n \in \mathbb{N}}\) ist, müssen wir feststellen, ob es für jedes \(k \in \mathbb{N}\) einn \in \bb{N}\) gibt, sodass \((k+2)! = 2n\). Die Folge \((2n)_{n \in \mathbb{N}}\) besteht aus den geraden Zahlen, also \(2, 4, 6, 8, \ldots\). Die Werte von \((k+2)!\) wachsen sehr schnell, da die Fakultät exponentiell ansteigt. Für kleine Werte von \(k\) sieht es wie folgt aus: - Für \(k = 0\): \((0+2)! = 2! = 2\) (gerade) - Für \(k = 1\): \((1+2)! = 3! = 6\) (gerade) - Für \(k = 2\): \((2+2)! = 4! = 24\) (gerade) - Für \(k = 3\): \((3+2)! = 5! = 120\) (gerade) - Für \(k = 4\): \((4+2)! = 6! = 720\) (gerade) Alle diese Werte sind gerade. Allerdings, wenn \(k\) größer wird, wird \((k+2)!\) sehr schnell viel größer als die nächsten geraden Zahlen in der Folge \((2n)_{n \in \mathbb{N}}\). Es gibt also keine Garantie, dass für jedes \(k\) ein entsprechendes \(n\) existiert, sodass \((k+2)! = 2n\) gilt. Zusammenfassend ist \(((k+2)!)_{k \in \mathbb{N}}\) keine Teilfolge von \((2n)_{n \in \mathbb{N}}\), da die Fakultäten nicht alle geraden Zahlen abdecken und schnell wachsen.