Faltung einer Rechteckfunktion mit sich selbst

Die Faltung einer Rechteckfunktion mit sich selbst ergibt eine Dreiecksform. Wenn du eine Rechteckfunktion \( rect(t) \) definierst, die von \(-\frac{1}{2}\) bis \(\frac{1}{2}\) reicht, sieht die Faltung \( (rect * rect)(t) \) folgendermaßen aus:

1. Die Rechteckfunktion hat eine Höhe von 1 und eine Breite von 1.
2. Bei der Faltung wird die Funktion über sich selbst verschoben und integriert.

Das Ergebnis der Faltung ist eine Funktion, die von \(-1\) bis \(1\) reicht und eine maximale Höhe von 1 bei \(t = 0\) hat, während sie linear von 0 auf 1 ansteigt und dann wieder linear von 1 auf 0 abfällt. Mathematisch kann die Faltung als folgt ausgedrückt werden:

\[
(rect * rect)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} rect(\tau) \cdot rect(t - \tau) \, d\tau
\]

Das Ergebnis ist eine Dreiecksfunktion, die wie folgt aussieht:

- Für \(-1 \leq t \leq 1\): \( (rect * rect)(t) = 1 - |t| \)
- Für \( |t| > 1\): \( (rect * rect)(t) = 0 \)

Diese Funktion hat also die Form eines Dreiecks mit der Basis von 2 und der Höhe von 1.