Ein einfaches Beispiel für lineare Optimierung?

Ein einfaches Beispiel für lineare Optimierung ist das sogenannte "Diätproblem". Hierbei geht es darum, die Kosten für eine Diät zu minimieren, während gleichzeitig bestimmte Nährstoffanforderungen erfüllt werden.

**Problemstellung:**

Du möchtest eine Diät planen, die aus zwei Nahrungsmitteln besteht: Nahrungsmittel A und Nahrungsmittel B. Jedes Nahrungsmittel hat einen bestimmten Preis und liefert eine bestimmte Menge an Nährstoffen. Ziel ist es, die Kosten der Diät zu minimieren, während die Mindestanforderungen an die Nährstoffe erfüllt werden.

**Daten:**

- Nahrungsmittel A kostet 2 Euro pro Einheit und liefert 3 Einheiten Protein und 2 Einheiten Kohlenhydrate.
- Nahrungsmittel B kostet 1 Euro pro Einheit und liefert 1 Einheit Protein und 4 Einheiten Kohlenhydrate.
- Die Diät muss mindestens 8 Einheiten Protein und 7 Einheiten Kohlenhydrate enthalten.

**Formulierung als lineares Optimierungsproblem:**

1. **Entscheidungsvariablen:**
- \( x \): Anzahl der Einheiten von Nahrungsmittel A
- \( y \): Anzahl der Einheiten von Nahrungsmittel B

2. **Zielfunktion:**
- Minimiere die Gesamtkosten: \( Z = 2x + 1y \)

3. **Nebenbedingungen:**
- Proteinanforderung: \( 3x + 1y \geq 8 \)
- Kohlenhydrat-Anforderung: \( 2x + 4y \geq 7 \)
- Nicht-Negativitätsbedingungen: \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \)

**Mathematische Formulierung:**

Minimiere \( Z = 2x + 1y \)

unter den Nebenbedingungen:
\[ 3x + y \geq 8 \]
\[ 2x + 4y \geq 7 \]
\[ x \geq 0 \]
\[ y \geq 0 \]

Dieses Problem kann mit verschiedenen Methoden der linearen Optimierung gelöst werden, wie z.B. dem Simplex-Algorithmus oder durch grafische Lösung, wenn es sich um ein zweidimensionales Problem handelt.