Wie berechnet man den Eigenwert einer 4x4 Matrix?

Um die Eigenwerte einer 4x4-Matrix zu berechnen, folge diesen Schritten:

1. **Matrix A aufstellen**: Gegeben sei die 4x4-Matrix \( A \).

2. **Charakteristisches Polynom finden**:
- Subtrahiere \(\lambda\) mal die Einheitsmatrix \( I \) von \( A \), um die Matrix \( A - \lambda I \) zu erhalten.
- Berechne die Determinante von \( A - \lambda I \), also \(\det(A - \lambda I)\).
- Das Ergebnis ist ein Polynom in \(\lambda\), das sogenannte charakteristische Polynom.

3. **Nullstellen des charakteristischen Polynoms finden**:
- Setze das charakteristische Polynom gleich null: \(\det(A - \lambda I) = 0\).
- Löse die resultierende Gleichung nach \(\lambda\) auf. Die Lösungen sind die Eigenwerte der Matrix \( A \).

Ein Beispiel:

Gegeben sei die Matrix \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
e & f & g & h \\
i & j & k & l \\
m & n & o & p
\end{pmatrix} \]

1. **Subtrahiere \(\lambda I\)**:

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix}
a-\lambda & b & c & d \\
e & f-\lambda & g & h \\
i & j & k-\lambda & l \\
m & n & o & p-\lambda
\end{pmatrix} \]

2. **Berechne die Determinante**:

\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix}
a-\lambda & b & c & d \\
e & f-\lambda & g & h \\
i & j & k-\lambda & l \\
m & n & o & p-\lambda
\end{vmatrix} \]

3. **Setze die Determinante gleich null und löse nach \(\lambda\)**:

\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]

Die Lösungen dieser Gleichung sind die Eigenwerte der Matrix \( A \).

Für die tatsächliche Berechnung der Determinante und das Lösen des resultierenden Polynoms kann es hilfreich sein, numerische Methoden oder Software wie MATLAB, Mathematica oder Python (mit NumPy) zu verwenden.