Welche Eigenschaft des Graphen f(x)=x^n verändert sich bei Spiegelung an der x-Achse?

Question

Welche Eigenschaft des Graphen f(x)=x^n verändert sich bei Spiegelung an der x-Achse?

Antwort

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Wie zeichnet man den Graphen einer Funktion, z.B. y= 0,5 (x-1,5)²-2?

Wie erkennt man den Funktionsterm einer Parabel am Graphen?

Wie sieht der Graph der Stammfunktion einer nach oben geöffneten Parabel aus?

Accepted Answer

Wenn der Graph der Funktion \( f(x) = x^n \) an der x-Achse gespiegelt wird, verändert sich das Vorzeichen der Funktionswerte. Das bedeutet, dass die neue Funktion \( g(x) = -f(x) = -x^n \) entsteht. Diese Spiegelung hat zur Folge, dass: 1. **Symmetrie**: Der Graph von \( g(x) \) ist zur x-Achse symmetrisch. Während der ursprüngliche Graph \( f(x) \) für gerade \( n \) achsensymmetrisch zur y-Achse ist, wird der gespiegelte Graph \( g(x) \) für gerade \( n \) ebenfalls achsensymmetrisch zur y-Achse, aber die Werte sind negativ. 2. **Wertebereich**: Der Wertebereich der Funktion ändert sich. Bei \( f(x) = x^n \) für gerade \( n \) sind die Funktionswerte nicht negativ (z.B. \( f(x) \geq 0 \)). Nach der Spiegelung sind die Werte von \( g(x) \) nicht positiv (z.B. \( g(x) \leq 0 \

Accepted Answer

Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)... [mehr]

Accepted Answer

Um den Graphen der Funktion \( y = 0,5 (x - 1,5)^2 - 2 \) zu zeichnen, folge diesen Schritten: 1. **Bestimme die Scheitelpunktform**: Die Funktion ist bereits in der Scheitelpunktform \( y = a(x - h)^2 + k \), wobei \( (h, k) \) der Scheitelpunkt ist. Hier ist \( h = 1,5 \) und \( k = -2 \). Der Scheitelpunkt ist also \( (1,5, -2) \). 2. **Öffnung und Breite**: Der Wert von \( a = 0,5 \) zeigt, dass die Parabel nach oben geöffnet ist und breiter ist als die Standardparabel \( y = x^2 \). 3. **Achsen und Symmetrie**: Die Parabel ist symmetrisch zur Linie \( x = 1,5 \). 4. **Berechne weitere Punkte**: Wähle einige \( x \)-Werte, um die entsprechenden \( y \)-Werte zu berechnen. Zum Beispiel: - Für \( x = 0 \): \( y = 0,5(0 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 1 \): \( y = 0,5(1 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 2 \): \( y = 0,5(2 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(0,25) - 2 = 0,125 - 2 = -1,875 \) - Für \( x = 3 \): \( y = 0,5(3 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(2,25) - 2 = 1,125 - 2 = -0,875 \) - Für \( x = 4 \): \( y = 0,5(4 - 1,5)^2 - 2 = 0,5(6,25) - 2 = 3,125 - 2 = 1,125 \) 5. **Zeichne die Punkte**: Trage die berechneten Punkte in ein Koordinatensystem ein. 6. **Verbinde die Punkte**: Zeichne eine glatte Kurve durch die Punkte, um die Parabel darzustellen. 7. **Achsen beschriften**: Vergiss nicht, die Achsen zu beschriften und den Scheitelpunkt sowie weitere wichtige Punkte zu kennzeichnen. So erhältst du den Graphen der Funktion.

Accepted Answer

Um den Funktionsterm einer Parabel anhand ihres Graphen zu erkennen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Scheitelpunkt bestimmen**: Finde den Scheitelpunkt der Parabel. Dieser Punkt ist entwed... [mehr]

Accepted Answer

Um den Funktionsterm einer Parabel anhand ihres Graphen zu erkennen, kannst du folgende Schritte befolgen: 1. **Scheitelpunkt bestimmen**: Finde den Scheitelpunkt der Parabel. Dieser Punkt ist entweder das Minimum oder Maximum der Parabel, je nachdem, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist. 2. **Öffnungsrichtung**: Bestimme, ob die Parabel nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0) geöffnet ist. Dies kannst du erkennen, indem du schaust, ob die Arme der Parabel nach oben oder unten zeigen. 3. **Steigung und Breite**: Achte auf die Breite der Parabel. Eine schmalere Parabel hat einen größeren Betrag von a (z.B. |a| > 1), während eine breitere Parabel einen kleineren Betrag von a hat (z.B. |a| < 1). 4. **Funktionsform**: Der allgemeine Funktionsterm einer Parabel ist in der Form \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), wobei (h, k) der Scheitelpunkt ist. Setze die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Gleichung ein. 5. **Weitere Punkte**: Wenn möglich, bestimme weitere Punkte auf der Parabel, um den Wert von a genauer zu bestimmen. Setze diese Punkte in die Gleichung ein, um a zu berechnen. Durch diese Schritte kannst du den Funktionsterm der Parabel aus ihrem Graphen ableiten.

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Der Graph der Stammfunktion einer nach oben hin geöffneten Parabel hat die Form einer kubischen Funktion. Eine nach oben hin geöffnete Parabel kann allgemein durch die Funktion \( f(x) = ax^... [mehr]

Accepted Answer

Der Graph der Stammfunktion einer nach oben hin geöffneten Parabel hat die Form einer kubischen Funktion. Eine nach oben hin geöffnete Parabel kann allgemein durch die Funktion \( f(x) = ax^2 + bx + c \) beschrieben werden, wobei \( a > 0 \) ist. Die Stammfunktion \( F(x) \) dieser Parabel wird durch die Integration von \( f(x) \) bestimmt: \[ F(x) = \int (ax^2 + bx + c) \, dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C \] Hierbei ist \( C \) eine Konstante, die den y-Achsenabschnitt der Stammfunktion bestimmt. Der Graph von \( F(x) \) wird also eine kubische Kurve sein, die typischerweise die folgenden Eigenschaften hat: 1. **Allgemeine Form**: Die Funktion hat die Form \( F(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C \). 2. **Verhalten**: Für große positive oder negative Werte von \( x \) wird der Graph in die positive oder negative Richtung steigen, abhängig von dem Vorzeichen von \( a \). 3. **Wendepunkte**: Der Graph kann Wendepunkte aufweisen, die durch die Ableitung \( F'(x) = ax^2 + bx + c \) bestimmt werden. Insgesamt zeigt der Graph der Stammfunktion einer nach oben geöffneten Parabel eine charakteristische S-Form, die von den Koeffizienten der ursprünglichen Parabel abhängt.