Wie löse ich die Differentialgleichung y'' + 3y' + 4y = 0?

Um die homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung \( y'' + 3y' + 4y = 0 \ zu lösen, folgt man diesen Schritten1. **Charakteristische Gleichung aufstellen:**
Die charakteristische Gleichung zu \('' + 3' + 4y = 0 \) lautet:
\[
r^2 + 3r + 4 = 0
\]

2. **Lösen der charakteristischen Gleichung:**
Diese quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel (auch bekannt als die pq-Formel) gelöst werden:
\[
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Hier sind \( a = 1 \), \( b = 3 \) und \( c = 4 \). Einsetzen ergibt:
\[
r = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-7}}{2}
\]
Da die Diskriminante negativ ist (\( -7 \)), haben wir komplexe Wurzeln:
\[
r = \frac{-3 \pm i\sqrt{7}}{2}
\]
Das sind die Wurzeln \( r_1 = \frac{-3}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}i \) und \( r_2 = \frac{-3}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}i \).

3. **Allgemeine Lösung der Differentialgleichung:**
Für komplexe Wurzeln der Form \( \alpha \pm \beta i \) ist die allgemeine Lösung:
\[
y(t) = e^{\alpha t} (C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t))
\]
Hier ist \( \alpha = -\frac{3}{2} \) und \( \beta = \frac{\sqrt{7}}{2} \). Daher lautet die allgemeine Lösung:
\[
y(t) = e^{-\frac{3}{2} t} \left( C_1 \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2} t\right) + C_2 \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2} t\right) \right)
\]
Dabei sind \( C_1 \) und \( C_2 \) Konstanten, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden können.

Das ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \( y'' + 3y' + 4y = 0 \).