Was ist Cohens Theorie über die Unendlichkeit?

Question

Was ist Cohens Theorie über die Unendlichkeit?

Antwort

Verwandte Fragen

Wie viele antisymmetrische Relationen gibt es auf 5 Elementen?

Accepted Answer

Cohen's Theorie über die Unendlichkeit bezieht sich auf Paul J. Cohen, einen Mathematiker, der für seine Arbeit in der Mengenlehre bekannt ist. Insbesondere ist er berühmt für seine Entwicklung der Forcing-Methode, mit der er 1963 bewies, dass sowohl die Kontinuumshypothese als auch die Axiom der Auswahl unabhängig von den Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) sind. Die Kontinuumshypothese, die von Georg Cantor vorgeschlagen wurde, besagt, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit (Kardinalität) zwischen der der natürlichen Zahlen und der der reellen Zahlen liegt. Cohen zeigte, dass weder die Kontinuumshypothese noch ihre Negation aus den Zermelo-Fraenkel-Axiomen der Mengenlehre (ZF) und dem Axiom der Auswahl (AC) bewiesen werden können. Das bedeutet, dass die Kontinuumshypothese unabhängig von diesen Axiomen ist: Es ist möglich, ein konsistentes Modell der Mengenlehre zu haben, in dem die Kontinuumshypothese wahr ist, und ein anderes konsistentes Modell, in dem sie falsch ist. Cohens Arbeit hat tiefgreifende Auswirkungen auf das Verständnis der Unendlichkeit und die Struktur der mathematischen Realität gehabt. Weitere Informationen zu Paul J. Cohen und seiner Arbeit können auf [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Paul_Joseph_Cohen) gefunden werden.

Accepted Answer

Um die Anzahl der antisymmetrischen Relationen auf einer Menge mit 5 Elementen zu bestimmen, betrachten wir eine Menge \( A \) mit 5 Elementen, z.B. \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \). Eine Relation \( R \)... [mehr]

Accepted Answer

Um die Anzahl der antisymmetrischen Relationen auf einer Menge mit 5 Elementen zu bestimmen, betrachten wir eine Menge \( A \) mit 5 Elementen, z.B. \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \). Eine Relation \( R \) auf \( A \) ist antisymmetrisch, wenn für alle \( a, b \in A \) gilt: Wenn \( (a, b) \in R \) und \( (b, a) \in R \), dann muss \( a = b \) sein. Das bedeutet, dass es keine zwei verschiedenen Elemente \( a \) und \( b \) geben kann, für die sowohl \( (a, b) \) als auch \( (b, a) \) in der Relation enthalten sind. Für eine Menge mit \( n \) Elementen gibt es insgesamt \( n^2 \) mögliche Paare \( (a, b) \). In unserem Fall mit \( n = 5 \) haben wir also 25 mögliche Paare. Um die Anzahl der antisymmetrischen Relationen zu zählen, betrachten wir die folgenden Fälle: 1. **Paare der Form \( (a, a) \)**: Diese Paare können unabhängig gewählt werden. Es gibt 5 solcher Paare (eigenen Elemente), und jedes kann entweder in der Relation sein oder nicht. Das ergibt \( 2^5 = 32 \) Möglichkeiten. 2. **Paare der Form \( (a, b) \) mit \( a \neq b \)**: Für jedes Paar \( (a, b) \) mit \( a \neq b \) kann man entscheiden, ob nur \( (a, b) \) in der Relation ist, nur \( (b, a) \) in der Relation ist oder keines von beiden. Es gibt \( \binom{5}{2} = 10 \) solche Paare, und für jedes Paar gibt es 3 Möglichkeiten (nur \( (a, b) \), nur \( (b, a) \) oder keines). Das ergibt \( 3^{10} \) Möglichkeiten. Die Gesamtanzahl der antisymmetrischen Relationen ist somit: \[ 2^5 \cdot 3^{10} = 32 \cdot 59049 = 1889568 \] Die Anzahl der antisymmetrischen Relationen auf einer Menge mit 5 Elementen beträgt also 1.889.568.