In einem vollständigen metrischen Raum ist jede Cauchy-Folge konvergent. Ein metrischer Raum ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in diesem Raum einen Grenzwert hat, der ebenfalls in diesem Raum liegt. Ein bekanntes Beispiel für einen vollständigen metrischen Raum ist der Raum der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\). In nicht vollständigen metrischen Räumen kann es jedoch Cauchy-Folgen geben, die nicht konvergieren. Ein Beispiel hierfür ist der Raum der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\), in dem es Cauchy-Folgen gibt, die gegen irrationale Zahlen konvergieren, die nicht in \(\mathbb{Q}\) liegen.