Beweise: Für endliche Menge P von PRL-Formeln gilt Sat(P)⊆ Sat(~P)?

Um zu beweisen, dass für eine endliche Menge \( P \) von PRL-Formeln gilt \( \text{Sat}(P) \subseteq \text{Sat}(\neg P) \), betrachten wir zunächst die Begriffe:

- \( \text{Sat}(P) \) bezeichnet die Menge der Modelle, die alle Formeln in \( P \) erfüllen.
- \( \text{Sat}(\neg P) \) bezeichnet die Menge der Modelle, die alle Formeln in \( \neg P \) erfüllen, wobei \( \neg P \) die Menge der Negationen der Formeln in \( P \) ist.

Der Beweis erfolgt durch Widerspruch:

1. Angenommen, es gibt ein Modell \( M \in \text{Sat}(P) \), das nicht in \( \text{Sat}(\neg P) \ ist. Das bedeutet, dass \( M \) mindestens eine Formel \( \phi \in P \) erfüllt, aber nicht die Negation dieser Formel \( \neg \phi \).

2. Da \( M \) \( \phi \) erfüllt, folgt, dass \( M \) nicht in \( \text{Sat}(\neg P) \) ist, was bedeutet, dass es mindestens eine Formel in \( P \) gibt, die nicht erfüllt ist.

3. Dies führt zu einem Widerspruch, da \( M \) alle Formeln in \( P \) erfüllt, was bedeutet, dass es keine Formel in \( P \) geben kann, die nicht erfüllt ist.

Daraus folgt, dass jedes Modell, das \( P \) erfüllt, auch die Negationen der Formeln in \( P \) nicht erfüllen kann. Somit gilt:

\[
\text{Sat}(P) \subseteq \text{Sat}(\neg P)
\]

Der Beweis ist damit abgeschlossen.