Berechne die Korrelation für gegebene Werte.

Um die Korrelation zwischen den beiden Variablen \(X\) und \(Y\) zu berechnen, kannst du die Pearson-Korrelation verwenden. Die Formel für die Pearson-Korrelation \(r\) lautet: \[ r = \frac{n(\sum xy) - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}} \] Hier sind die Schritte zur Berechnung: 1. **Daten auflisten:** - \(X: [5, 10, 3, 11, 8]\) - \(Y: [2.7, 1.7, 3.0, 1.0, 2.0]\) 2. **chnungen durchführen:** - \(n = 5\) (Anzahl der Paare) - \(\sum x = 5 + 10 + 3 + 11 + 8 = 37\) - \(\sum y = 2.7 + 1.7 + 3.0 + 1.0 + 2.0 = 10.4\) - \(\sum xy = (5 \cdot 2.7) + (10 \cdot 1.7) + (3 \cdot 3.0) + (11 \cdot 1.0) + (8 \cdot 2.0) = 13.5 + 17 + 9 + 11 + 16 = 66.5\) - \(\sum x^2 = 5^2 + 10^2 + 3^2 + 11^2 + 8^2 = 25 + 100 + 9 + 121 + 64 = 319\) - \(\sum y^2 = (2.7^2) + (1.7^2) + (3.0^2) + (1.0^2) + (2.0^2) = 7.29 + 2.89 + 9 + 1 + 4 = 24.18\) 3. **Einsetzen in die Formel:** \[ r = \frac{5(66.5) - (37)(10.4)}{\sqrt{[5(319) - (37)^2][5(24.18) - (10.4)^2]}} \] 4. **Berechnung:** - Zähler: \(5 \cdot 66.5 - 37 \cdot 10.4 = 332.5 - 384.8 = -52.3\) - Nenner: - \(5 \cdot 319 - 37^2 = 1595 - 1369 = 226\) - \(5 \cdot 24.18 - 10.4^2 = 120.9 - 108.16 = 12.74\) - \(\sqrt{226 \cdot 12.74} \approx \sqrt{2885.24} \approx 53.7\) 5. **Endergebnis:** \[ r \approx \frac{-52.3}{53.7} \approx -0.974 \] Die Korrelation zwischen \(X\) und \(Y\) beträgt also ungefähr \(-0.974\), was auf eine starke negative Korrelation hinweist.