In der Theorie der Codes über dem endlichen Feld \( \mathbb{F}_2 \) ist der Hamming-Ball \( B_e(v) \) um ein Wort \( v \) der Länge 5 der Menge aller Wörter, die sich von \( v \) in höchstens \( e \) Positionen unterscheiden. Die Anzahl der Elemente in diesem Ball hängt nur von \( e \) und nicht von \( v \) ab, da der Hamming-Abstand invariant unter Translationen ist. Die Anzahl der Elemente im Hamming-Ball \( B_e(v) \) um ein Wort \( v \) der Länge 5 über \( \mathbb{F}_2 \) kann durch die Summe der Binomialkoeffizienten berechnet werden: \[ |B_e(v)| = \sum_{i=0}^{e} \binom{5}{i} \] Hier sind die Binomialkoeffizienten \( \binom{5}{i} \) die Anzahl der Möglichkeiten, \( i \) Positionen aus 5 zu wählen, um sie zu ändern. Berechnen wir die Anzahl der Elemente für \( e = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \): 1. Für \( e = 0 \): \[ |B_0(v)| = \binom{5}{0} = 1 \] 2. Für \( e = 1 \): \[ |B_1(v)| = \binom{5}{0} + \binom{5}{1} = 1 + 5 = 6 \] 3. Für \( e = 2 \): \[ |B_2(v)| = \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} = 1 + 5 + 10 = 16 \] 4. Für \( e = 3 \): \[ |B_3(v)| = \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} = 1 + 5 + 10 + 10 = 26 \] 5. Für \( e = 4 \): \[ |B_4(v)| = \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 = 31 \] 6. Für \( e = 5 \): \[ |B_5(v)| = \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 \] Zusammengefasst sind die Anzahlen der Elemente im Hamming-Ball \( B_e(v) \) für \( e = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \): - \( |B_0(v)| = 1 \) - \( |B1(v)| = 6 \) - \( |B_2)| = 16 \) - \( |B_3(v)| = 26 \) - \( |B_4(v)| = 31 \) - \( |B_5(v)| = 32 \)