5 Fragen zu Hamming

**Hamming-Distanz:** 1. **Feste Länge:** Die Hamming-Distanz kann nur auf Zeichenketten gleicher Länge angewendet werden. 2. **Anzahl der Unterschiede:** Sie zählt die Anzahl der Positionen, an denen die entsprechenden Symbole unterschiedlich sind. 3. **Binärdaten:** Häufig verwendet in der Informationstheorie und Fehlerkorrektur, insbesondere bei binären Daten. **Levenshtein-Distanz:** 1. **Variable Länge:** Die Levenshtein-Distanz kann auf Zeichenketten unterschiedlicher Länge angewendet werden. 2. **Bearbeitungsoperationen:** Sie misst die minimale Anzahl von Einfüge-, Lösch- und Ersetzungsoperationen, die erforderlich sind, um eine Zeichenkette in eine andere zu transformieren. 3. **Anwendungsbereich:** Häufig verwendet in der Textverarbeitung und Bioinformatik, um Ähnlichkeiten zwischen Zeichenketten zu bestimmen.

Um eine Erzeugatrix (Generator Matrix) einenamming-Code zu erstellen folge diesen Sch: 1. **imme die Parameter des H-Codes**: - Ein Hamming ist ein \([, k]\)-Code, wobei \(n =2^m -1\) undk = n -\). Hierbei istm\) die der Paritätsbits2. **Er die Paritätsprümatrix \(H\)** - Die Parprüfmatrix \(\) hat die \(m \times\). - Jedealte von \(H) ist eine eindeige nicht-null \(\)-bit Binzahl. 3. **zeuge die Erzeugatrix \(G\: - Diezeugermatrix \(G) hat die Dimensionk \times n). - \(\) besteht aus \(k \times k) Einheitsmatrix \(I_k\) einer \(k \times m\) Matrix \(P\), die aus Spalten von \(H\) besteht, die nicht zur Einheits gehören. Hier ist ein konkretes Beispiel für einen Hamming-Code \([, 4]\) (also \(m = 3\))1. **Bestimme \(n\) und \(k\)**: - \(n = 2^3 - 1 = 7\ - \(k = 7 - 3 = 4\) . **Erstelle die Paritätsprüfmatrix \(H\)** \[ H = \begin{pmatrix} 1 0 & 0 & 1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & 1 & 0 & & 1 & 0 & 0 \\ 0 &0 & 1 & 1 & 0 & 1 & \end{pmatrix} \] 3. **zeuge die Erzeugermatrix \(G\)**: - Die Einmatrix \(I_k\) ist: \[ I_4 \begin{pmatrix} 1 & 0 & & 0 \\ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix} \] - Die Matrix \(P) besteht aus den ersten \(k\) Spalten von \(H\ \[ P = \begin{pmatrix} & 1 & 1 \\ 1 & 1 &0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] - Kombiniere \(I_k\) und \(\) zu \(G\): \[ G = \beginpmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 1 \\ 0 &1 & 0 & 0 & 1 & 1 & \\ 0 & 0 & 1 & 0 &1 & 0 & 1 \\ 0 & & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] Die Matrix \(G\ ist die Erzeugermatrix des Hamming-Codes \([7 4]\).

Um die Dimension eines Codes im Hamming-Raum zu bestimmen, musst du die Anzahl der unabhängigen Codewörter im Code kennen. Hier ist eine Schritt-für-Schritt-Anleitung1. **Code definieren**: Bestimme den Code \( C \) und seine Parameter \( [n, k, d] \), wobei \( n \) die Länge der Codewörter, \( k \) die Dimension des Codes und \( d \) die minimale Hamming-Distanz ist. 2. **Generator-Matrix finden**: Finde eine Generator-Matrix \( G \) für den Code \( C \). Diese Matrix hat die Dimension \( k \times n \) und ihre Zeilen bilden eine Basis des Codes. 3. **Rang der Generator-Matrix**: Bestimme den Rang der Generator-Matrix \( G \). Der Rang der Matrix gibt die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen an, was der Dimension \( k \) des Codes entspricht. 4. **Dimension ablesen**: Die Dimension \( k \) des Codes ist gleich dem Rang der Generator-Matrix \( G \). Zusammengefasst: Die Dimension eines Codes im Hamming-Raum ist die Anzahl der linear unabhängigen Codewörter, die durch die Generator-Matrix des Codes bestimmt wird.

Um die Erzeugatrix eines Codes im H-R zu erstellen, fol diesen Schritten: . **Bestimme Parameter des Hamming-C**: Ein H-Code wird durch die \((n,)\) beschrieben, \(n\) die des Codeworts \(k\) Anzahl der Informationsbits. Der Hamming hat die Eigenschaft, \(n = ^m - \) und \( = n - m\ wobei \(m\ die Anzahl der Parbits ist. 2 **Erstelle dieitätsprüfmatrix \(\)**: DieitätsprüfmatrixH\) hat Dimension \(m \ n\). Jede Sp von \(H\ ist ein eindeut binärer Vektor Länge \(m\ der nicht der Nullve ist. Die Sp von \(H\ repräsentieren dieen der Bits imwort. 3. **Bestimme die Erzeugatrix \(G\)**: Die Erzeugermatrix \(G\ hat die Dimension \(k \times n\). Sie kann aus der Parprüfmatrix \(H\) abgeleitet werden. Die Matrix \(\) besteht aus einer \(k \times k\)-Einheits \(I_k\) und einer \(k \times m\)-MatrixP\), die aus den ersten \(k\) Spalten vonH\) besteht. Die Erzeugermatrix \(G\) die Form: \[ G = [I_k \, |, P] \] wobei \(I_k\) dieheitsmatrix der Größe \(k\) ist und \(P\) die ist, die aus den ersten \(k\) Spalten von \(H) besteht. 4. **Konstruiere die Matrix \(P)**: Die Matrix \(P\) wird aus den ersten \(k\ Spalten der Paritätsprüfmatrix \(H\) gebildet5. **Zusammenfügen der Erzeugermatrix**:üge die Einheitsmatrix \(I_k\) und die Matrix \(P) zusammen, um die Erzeugermatrix \(G\) zu. Beispiel für einen Hamming-Code \((7, 4): - \(n = 7\), \(k = 4\ \(m = 3\) - Paritätsprüfmatrix \(\): \[ H = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & & 0 \\ 1 & 1 & 0 &1 & 0 & 1 & 0 \\ & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 1 \end{pmatrix} \] - MatrixP\) (erste 4 Spalten von \(H\)): \[ P = \begin{pmatrix} 1 &1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 0 & 1 \\ 1 & 0 &1 & 1 \end{pmatrix} \] Einheitsmatrix \(I_4\): \[ I_ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & & 0 \\ 0 & 1 & 0 0 \\ 0 & 0 & 1 & \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] - ErzeugermatrixG\): \[ G = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 &1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & & 1 \\ 0 & 0 & 0 &1 & 0 & 1 & 1 \endpmatrix} \] Diese Erzeugermatrix \(G\) verwendet werden, um die Codewörter des Hamming-Codes zu erzeugen.

In der Theorie der Codes über dem endlichen Feld \( \mathbb{F}_2 \) ist der Hamming-Ball \( B_e(v) \) um ein Wort \( v \) der Länge 5 der Menge aller Wörter, die sich von \( v \) in höchstens \( e \) Positionen unterscheiden. Die Anzahl der Elemente in diesem Ball hängt nur von \( e \) und nicht von \( v \) ab, da der Hamming-Abstand invariant unter Translationen ist. Die Anzahl der Elemente im Hamming-Ball \( B_e(v) \) um ein Wort \( v \) der Länge 5 über \( \mathbb{F}_2 \) kann durch die Summe der Binomialkoeffizienten berechnet werden: \[ |B_e(v)| = \sum_{i=0}^{e} \binom{5}{i} \] Hier sind die Binomialkoeffizienten \( \binom{5}{i} \) die Anzahl der Möglichkeiten, \( i \) Positionen aus 5 zu wählen, um sie zu ändern. Berechnen wir die Anzahl der Elemente für \( e = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \): 1. Für \( e = 0 \): \[ |B_0(v)| = \binom{5}{0} = 1 \] 2. Für \( e = 1 \): \[ |B_1(v)| = \binom{5}{0} + \binom{5}{1} = 1 + 5 = 6 \] 3. Für \( e = 2 \): \[ |B_2(v)| = \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} = 1 + 5 + 10 = 16 \] 4. Für \( e = 3 \): \[ |B_3(v)| = \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} = 1 + 5 + 10 + 10 = 26 \] 5. Für \( e = 4 \): \[ |B_4(v)| = \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 = 31 \] 6. Für \( e = 5 \): \[ |B_5(v)| = \binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 \] Zusammengefasst sind die Anzahlen der Elemente im Hamming-Ball \( B_e(v) \) für \( e = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \): - \( |B_0(v)| = 1 \) - \( |B1(v)| = 6 \) - \( |B_2)| = 16 \) - \( |B_3(v)| = 26 \) - \( |B_4(v)| = 31 \) - \( |B_5(v)| = 32 \)