Eine Relation \( R \) auf einer Menge \( A \) ist antisymmetrisch, wenn für alle \( a, b \in A \) gilt: Wenn \( (a, b) \in R \) und \( (b, a) \in R \), dann muss \( a = b \) sein. Um die Anzahl der antisymmetrischen Relationen auf der Menge \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \) zu bestimmen, betrachten wir die möglichen Paare \( (a, b) \) für \( a, b \in A \): 1. **Diagonale Paare**: Jedes Element kann mit sich selbst in der Relation stehen oder nicht. Es gibt 5 Elemente, also gibt es \( 2^5 = 32 \) Möglichkeiten für die diagonalen Paare \( (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) \). 2. **Nicht-diagonale Paare**: Für jedes Paar \( (a, b) \) mit \( a \neq b \) gibt es zwei Möglichkeiten: - Das Paar \( (a, b) \) ist in der Relation. - Das Paar \( (b, a) \) ist in der Relation. - Keines der Paare ist in der Relation. Wenn \( n \) die Anzahl der Elemente in der Menge ist, gibt es \( n(n-1) \) nicht-diagonale Paare. In diesem Fall ist \( n = 5 \), also gibt es \( 5 \times 4 = 20 \) nicht-diagonale Paare. Für jedes dieser Paare gibt es 3 Möglichkeiten (wie oben beschrieben), was zu \( 3^{20} \) Möglichkeiten führt. Die Gesamtanzahl der antisymmetrischen Relationen ist daher: \[ 2^5 \times 3^{20} \] Das ergibt: \[ 32 \times 3^{20} \] Das ist die Anzahl der antisymmetrischen Relationen auf der Menge \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \).