Um die Anzahl der antisymmetrischen Relationen auf einer Menge mit 5 Elementen zu bestimmen, betrachten wir eine Menge \( A \) mit 5 Elementen, z.B. \( A = \{1, 2, 3, 4, 5\} \). Eine Relation \( R \) auf \( A \) ist antisymmetrisch, wenn für alle \( a, b \in A \) gilt: Wenn \( (a, b) \in R \) und \( (b, a) \in R \), dann muss \( a = b \) sein. Das bedeutet, dass es keine zwei verschiedenen Elemente \( a \) und \( b \) geben kann, für die sowohl \( (a, b) \) als auch \( (b, a) \) in der Relation enthalten sind. Für eine Menge mit \( n \) Elementen gibt es insgesamt \( n^2 \) mögliche Paare \( (a, b) \). In unserem Fall mit \( n = 5 \) haben wir also 25 mögliche Paare. Um die Anzahl der antisymmetrischen Relationen zu zählen, betrachten wir die folgenden Fälle: 1. **Paare der Form \( (a, a) \)**: Diese Paare können unabhängig gewählt werden. Es gibt 5 solcher Paare (eigenen Elemente), und jedes kann entweder in der Relation sein oder nicht. Das ergibt \( 2^5 = 32 \) Möglichkeiten. 2. **Paare der Form \( (a, b) \) mit \( a \neq b \)**: Für jedes Paar \( (a, b) \) mit \( a \neq b \) kann man entscheiden, ob nur \( (a, b) \) in der Relation ist, nur \( (b, a) \) in der Relation ist oder keines von beiden. Es gibt \( \binom{5}{2} = 10 \) solche Paare, und für jedes Paar gibt es 3 Möglichkeiten (nur \( (a, b) \), nur \( (b, a) \) oder keines). Das ergibt \( 3^{10} \) Möglichkeiten. Die Gesamtanzahl der antisymmetrischen Relationen ist somit: \[ 2^5 \cdot 3^{10} = 32 \cdot 59049 = 1889568 \] Die Anzahl der antisymmetrischen Relationen auf einer Menge mit 5 Elementen beträgt also 1.889.568.