Wie groß ist der Anteil des Flächeninhalts eines in ein regelmäßiges Achteck einbeschriebenen Rechtecks am Achteck-Flächeninhalt?

Um den Anteil des Flächeninhalts eines in ein regelmäßiges Achteck einbeschriebenen Rechtecks zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor:

1. **Flächeninhalt des Achtecks**: Der Flächeninhalt \( A \) eines regelmäßigen Achtecks mit der Seitenlänge \( a \) kann mit der Formel berechnet werden:
\[
A = 2 \cdot (1 + \sqrt{2}) \cdot a^2
\]

2. **Einbeschriebenes Rechteck**: Ein in ein regelmäßiges Achteck einbeschriebenes Rechteck hat seine Ecken auf den Mittelpunkten der Seiten des Achtecks. Die Breite und Höhe des Rechtecks können als \( b \) und \( h \) bezeichnet werden. Für ein regelmäßiges Achteck mit der Seitenlänge \( a \) ist die Breite des Rechtecks gleich \( a \) und die Höhe ist \( a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \) (da die Diagonalen des Achtecks die Höhe des Rechtecks bestimmen).

3. **Flächeninhalt des Rechtecks**: Der Flächeninhalt \( A_R \) des Rechtecks ist dann:
\[
A_R = b \cdot h = a \cdot \left(a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{a^2}{\sqrt{2}}
\]

4. **Anteil des Rechtecks am Achteck**: Der Anteil \( P \) des Flächeninhalts des Rechtecks am Flächeninhalt des Achtecks ist:
\[
P = \frac{A_R}{A} = \frac{\frac{a^2}{\sqrt{2}}}{2 \cdot (1 + \sqrt{2}) \cdot a^2}
\]
Dies vereinfacht sich zu:
\[
P = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2 \cdot (1 + \sqrt{2})} = \frac{1}{2\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}
\]

5. **Endergebnis**: Der Anteil des Flächeninhalts des Rechtecks am Flächeninhalt des Achtecks beträgt also:
\[
P = \frac{1}{2\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}
\]

Das ist der gesuchte Anteil.