Bestimme den Anteil des Flächeninhalts eines in ein regelmäßiges Achteck einbeschriebenen Rechtecks.

Um den Anteil des Flächeninhalts eines Rechtecks, das in ein regelmäßiges Achteck einbeschrieben ist, am Flächeninhalt des Achtecks zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor:

1. **Flächeninhalt des regelmäßigen Achtecks**: Der Flächeninhalt \( A \) eines regelmäßigen Achtecks mit der Seitenlänge \( a \) kann mit der Formel berechnet werden:
\[
A = 2 \cdot (1 + \sqrt{2}) \cdot a^2
\]

2. **Einbeschriebenes Rechteck**: Ein Rechteck, das in ein regelmäßiges Achteck einbeschrieben ist, hat seine Ecken an den Mittelpunkten der Seiten des Achtecks. Die Breite und Höhe des Rechtecks können durch die Geometrie des Achtecks bestimmt werden.

Bei einem regelmäßigen Achteck mit der Seitenlänge \( a \) ist die Diagonale, die das Rechteck bildet, gleich der Seitenlänge des Achtecks. Die Höhe und Breite des Rechtecks sind also:
\[
b = a \cdot \sqrt{2}
\]
und
\[
h = a \cdot \sqrt{2}
\]

Der Flächeninhalt \( A_R \) des Rechtecks ist dann:
\[
A_R = b \cdot h = (a \cdot \sqrt{2}) \cdot (a \cdot \sqrt{2}) = 2a^2
\]

3. **Anteil des Rechtecks am Achteck**: Der Anteil \( P \) des Flächeninhalts des Rechtecks am Flächeninhalt des Achtecks ist:
\[
P = \frac{A_R}{A} = \frac{2a^2}{2(1 + \sqrt{2})a^2} = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}
\]

4. **Berechnung des Anteils**: Um den Anteil in einer einfacheren Form darzustellen, kann man den Bruch rationalisieren:
\[
P = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2} - 1
\]

Somit ist der Anteil des Flächeninhalts des Rechtecks am Flächeninhalt des regelmäßigen Achtecks \( \sqrt{2} - 1 \).