Um den Anteil des Flächeninhalts eines einbeschriebenen Rechtecks am Flächeninhalt eines regulären Achtecks zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor: 1. **Flächeninhalt des Achtecks**: Der Flächeninhalt \( A \) eines regulären Achtecks mit der Seitenlänge \( a \) kann mit der Formel berechnet werden: \[ A = 2 \cdot (1 + \sqrt{2}) \cdot a^2 \] 2. **Einbeschriebenes Rechteck**: Ein einbeschriebenes Rechteck in einem regulären Achteck hat seine Ecken an den Mittelpunkten der Seiten des Achtecks. Der Flächeninhalt \( A_R \) des einbeschriebenen Rechtecks kann als Produkt der Längen der beiden Seiten des Rechtecks berechnet werden. Bei einem regulären Achteck ist das einbeschriebene Rechteck ein Quadrat, dessen Seitenlängen \( acdot \frac{\sqrt{2}}{2} \) betragen (da die Diagonalen des Achtecks die Seiten des Rechtecks bilden). Der Flächeninhalt des Rechtecks ist also: \[ A_R = \left( a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{a^2}{2} \] 3. **Anteil des Rechtecks am Achteck**: Der Anteil \( P \) des Flächeninhalts des Rechtecks am Flächeninhalt des Achtecks ist dann: \[ P = \frac{A_R}{A} = \frac{\frac{a^2}{2}}{2 \cdot (1 + \sqrt{2}) \cdot a^2} = \frac{1}{4(1 + \sqrt{2})} \] 4. **Berechnung des Anteils**: Um den genauen Wert zu erhalten, kann man \( 1 + \sqrt{2} \) näherungsweise berechnen: \[ 1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 \approx 2.414 \] Somit ist: \[ P \approx \frac{1}{4 \cdot 2.414} \approx \frac{1}{9.656} \approx 0.1035 \] Der Anteil des Flächeninhalts des einbeschriebenen Rechtecks am Flächeninhalt des Achtecks beträgt also ungefähr 10,35 %.