Ein Wiederholungscode \( C \) in einem Hamming-Raum \( H(3, A) \) ist perfekt, wenn jede mögliche Zeichenfolge der Länge 3 im Alphabet \( A \) genau einem Codewort im Wiederholungscode zugeordnet werden kann, sodass der Hamming-Abstand zwischen der Zeichenfolge und dem Codewort minimal ist. Ein Wiederholungscode besteht aus Codewörtern, bei denen alle Symbole gleich sind, also der Form \( (a, a, a) \) für \( a \in A \). Der Hamming-Abstand zwischen zwei verschiedenen Codewörtern in einem Wiederholungscode beträgt immer 3. Ein Code ist perfekt, wenn jede Zeichenfolge der Länge 3 im Hamming-Raum \( H(3, A) \) genau einem Codewort zugeordnet werden kann, sodass der maximale Hamming-Abstand zu diesem Codewort 1 beträgt. Das bedeutet, dass jede Zeichenfolge der Länge 3 im Hamming-Raum \( H(3, A) \) innerhalb eines Hamming-Abstands von 1 zu einem Codewort im Wiederholungscode liegen muss. Für den Wiederholungscode \( C \) in \( H(3, A) \) ist dies der Fall, wenn \( q = 2 \). Das bedeutet, dass das Alphabet \( A \) genau 2 Elemente enthält. In diesem Fall gibt es genau zwei Codewörter: \( (0, 0, 0) \) und \( (1, 1, 1) \). Jede Zeichenfolge der Länge 3 im Hamming-Raum \( H(3, A) \) hat einen Hamming-Abstand von höchstens 1 zu einem dieser beiden Codewörter. Daher ist der Wiederholungscode \( C \) in \( H(3, A) \) perfekt, wenn \( q = 2 \).