Wie lautet die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems A1x + B1y + C1z = D1; A2x + B2y + C2z = D2; A3x + B3y + C3z = D3?

Die allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems der Form:

1. \( A_1x + B_1y + C_1z = D_1 \)
2. \( A_2x + B_2y + C_2z = D_2 \)
3. \( A_3x + B_3y + C_3z = D_3 \)

kann auf verschiedene Weisen gefunden werden, abhängig von der Anzahl der Lösungen, die das System hat (eindeutig, unendlich oder keine Lösung).

1. **Eindeutige Lösung**: Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix \( A \) (bestehend aus \( A_1, B_1, C_1 \), \( A_2, B_2, C_2 \), \( A_3, B_3 C_3 \)) ungleich null ist, gibt es eine eindeutige Lösung. Diese kann durch die Anwendung der Cramerschen Regel oder durch das Lösen des Systems mittels Eliminationsverfahren oder Matrixmethoden (z.B. Gauß-Elimination) gefunden werden.

2. **Unendliche Lösungen**: Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich null ist und das System konsistent ist (d.h. die Gleichungen sind nicht widersprüchlich), gibt es unendlich viele Lösungen. In diesem Fall kann eine der Variablen als Parameter betrachtet werden, und die anderen Variablen können in Abhängigkeit von diesem Parameter ausgedrückt werden.

3. **Keine Lösung**: Wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix gleich null ist und das System inkonsistent ist (d.h. die Gleichungen führen zu einem Widerspruch), gibt es keine Lösung.

Um die allgemeine Lösung zu finden, kannst du die Matrixform des Systems verwenden:

\[
\begin{pmatrix}
A_1 & B_1 & C_1 \\
A_2 & B_2 & C_2 \\
A_3 & B_3 & C_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
D_1 \\
D_2 \\
D_3
\end{pmatrix}
\]

Die Lösung kann dann durch verschiedene Methoden wie die oben genannten ermittelt werden.