Zeige mithilfe der Additionstheoreme, dass d/dx cos(x) = −sin(x).

Um zu zeigen, dass \(\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)\) mithilfe der Additionstheoreme, können wir die Definition des Kosinus und die Ableitung verwenden. Hier ist der Schritt-für-Schritt-Prozess:

1. **Verwende die Definition der Ableitung:**
\[
\frac{d}{dx} \cos(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x + h) - \cos(x)}{h}
\]

2. **Anwenden des Additionstheorems für den Kosinus:**
\[
\cos(x + h) = \cos(x) \cos(h) - \sin(x) \sin(h)
\]

3. **Setze das Additionstheorem in die Ableitungsdefinition ein:**
\[
\frac{d}{dx} \cos(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x) \cos(h) - \sin(x) \sin(h) - \cos(x)}{h}
\]

4. **Faktorisieren:**
\[
\frac{d}{dx} \cos(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)(\cos(h) - 1) - \sin(x) \sin(h)}{h}
\]

5. **Teile den Bruch auf:**
\[
\frac{d}{dx} \cos(x) = \lim_{h \to 0} \left[ \cos(x) \frac{\cos(h) - 1}{h} - \sin(x) \frac{\sin(h)}{h} \right]
\]

6. **Verwende die Grenzwerte:**
\[
\lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} = 0
\]
\[
\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1
\]

7. **Setze die Grenzwerte ein:**
\[
\frac{d}{dx} \cos(x) = \cos(x) \cdot 0 - \sin(x) \cdot 1
\]
\[
\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)
\]

Damit ist gezeigt, dass \(\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)\).