(a | b ∧ b | c) = a | c, mathematischer Beweis Teilbarkeitsregeln

Question

(a | b ∧ b | c) => a | c, mathematischer Beweis Teilbarkeitsregeln

Accepted Answer

Um den Ausdruck $(a | b \land b | c) \Rightarrow a | c$ als mathematischen Beweis zu zeigen, verwenden wir die Definition der Teilbarkeit und die Eigenschaften der Teilbarkeitsrelation.

1. **Definition der Teilbarkeit**: 
   - $a | b$ bedeutet, dass es ein $k \in \mathbb{Z}$ gibt, sodass $b = ak$.
   - $b | c$ bedeutet, dass es ein $m \in \mathbb{Z}$ gibt, sodass $c = bm$.

2. **Gegeben**: 
   - $a | b$ und $b | c$.

3. **Schritt 1**: 
   - Da $a | b$, existiert ein $k \in \mathbb{Z}$ mit $b = ak$.

4. **Schritt 2**: 
   - Da $b | c$, existiert ein $m \in \mathbb{Z}$ mit $c = bm$.

5. **Schritt 3**: 
   - Setze $b$ aus Schritt 1 in die Gleichung von Schritt 2 ein:
     $$
     c = bm = (ak)m = a(km).
     $$

6. **Schritt 4**: 
   - Da $km$ ein ganzzahliges Produkt ist, ist $km \in \mathbb{Z}$. Daher gibt es ein $n = km \in \mathbb{Z}$, sodass $c = an$.

7. **Schlussfolgerung**: 
   - Damit ist gezeigt, dass $a | c$.

Somit folgt aus $a | b$ und $b | c$, dass $a | c$. Der Beweis ist damit abgeschlossen.

(a | b ∧ b | c) => a | c, mathematischer Beweis Teilbarkeitsregeln

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