Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beim gleichzeitigen Wurf von 5 Würfeln genau 3 Würfel die gleiche Augenzahl zeigen (und die anderen beiden Würfel jeweils andere, verschiede...
20 Mal Würfel werfen: Wahrscheinlichkeit für 1?
Antwort vomDie Wahrscheinlichkeit, bei 20 Würfen eines fairen sechsseitigen Würfels genau einmal eine 1 zu würfeln, kann mit der Binomialverteilung berechnet werden. Die Formel für die Wahrscheinlichkeit \( P(X = k) \) bei einer Binomialverteilung ist: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Hierbei ist: - \( n \) die Anzahl der Versuche (20 Würfe), - \( k \) die Anzahl der Erfolge (1-mal eine 1), - \( p \) die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg (1/6 für eine 1), - \( \binom{n}{k} \) der Binomialkoeffizient. Für \( n = 20 \), \( k = 1 \), und \( p = 1/6 \): \[ P(X = 1) = \binom{20}{1} \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^{19} \] Der Binomialkoeffizient \( \binom{20}{1} \) ist 20. Also: \[ P(X = 1) = 20 \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{19} \] Das ergibt: \[ P(X = 1) = 20 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{19} \] \[ P(X = 1) = \frac{20}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{19} \] \[ P(X = 1) = \frac{10}{3} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{19} \] Diese Berechnung ergibt die genaue Wahrscheinlichkeit, bei 20 Würfen eines Würfels genau einmal eine 1 zu würfeln.
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