Sind alle aussagenlogischen Argumente auch prädikatenlogisch gültig?

Question

Sind alle aussagenlogischen Argumente auch prädikatenlogisch gültig?

Antwort

Verwandte Fragen

Wenn kein erfahrener Mensch inkompetent ist und Schmidt ständig Fehler macht, ist Jenkins unerfahren.

Gesucht ist ein äquivalenter aussagenlogischer Ausdruck zu t <-> s && r mit den Bedingungen [ Operators [ false, ->, || ] ]?

Accepted Answer

Nein, nicht alle aussagenlogischen Argumente sind auch prädikatenlogisch gültig. **Begründung:** Wenn ein Argument in der Aussagenlogik gültig ist, bedeutet das, dass es unter jeder Belegung der atomaren Aussagen wahr ist. In der Prädikatenlogik gibt es jedoch zusätzliche Strukturen wie Quantoren (∀, ∃) und Variablen, die zu einer feineren Unterscheidung führen. Es kann also vorkommen, dass ein aussagenlogisch gültiges Argument, wenn es in die Prädikatenlogik übertragen wird, dort nicht mehr gültig ist, weil die Prädikatenlogik mehr Unterscheidungen zulässt (z.B. durch unterschiedliche Domänen). **Beispiel:** Das aussagenlogische Argument 1. \( P \lor Q \) 2. \( \neg P \) 3. Also: \( Q \) ist gültig. Wenn man aber Prädikate einsetzt, z.B. 1. \( P(x) \lor Q(x) \) 2. \( \neg P(x) \) 3. Also: \( Q(x) \) ist das Argument nur dann gültig, wenn es für alle \( x \) gilt. Sobald Quantoren ins Spiel kommen, kann die Gültigkeit verloren gehen. **Fazit:** Aussagenlogische Gültigkeit garantiert nicht automatisch prädikatenlogische Gültigkeit, da die Prädikatenlogik eine feinere Unterscheidung erlaubt.

Accepted Answer

Um die Argumentation in Prädikatenlogik zu formulieren, definieren wir zunächst einige Prädikate: - \( E(x) \): \( x \) ist erfahren. - \( I(x) \): \( x \) ist inkompetent. - \( F(x) \... [mehr]

Accepted Answer

Um die Argumentation in Prädikatenlogik zu formulieren, definieren wir zunächst einige Prädikate: - \( E(x) \): \( x \) ist erfahren. - \( I(x) \): \( x \) ist inkompetent. - \( F(x) \): \( x \) macht ständig Fehler. - \( C(x) \): \( x \) ist kompetent. Die Aussagen können dann wie folgt übersetzt werden: 1. Kein erfahrener Mensch ist inkompetent: \[ \forall x (E(x) \rightarrow \neg I(x)) \] 2. Schmidt macht ständig Fehler: \[ F(\text{Schmidt}) \] 3. Keine kompetente Person macht ständig Fehler: \[ \forall x (C(x) \rightarrow \neg F(x)) \] 4. Schlussfolgerung: Jenkins ist unerfahren: \[ \neg E(\text{Jenkins}) \] Die Argumentation könnte dann wie folgt ablaufen: 1. Aus der ersten Aussage folgt, dass wenn Schmidt Fehler macht (\( F(\text{Schmidt}) \)), er inkompetent sein muss (\( I(\text{Schmidt}) \)). 2. Da inkompetente Personen nicht erfahren sind, folgt \( \neg E(\text{Schmidt}) \). 3. Aus der dritten Aussage folgt, dass Schmidt nicht kompetent ist (\( \neg C(\text{Schmidt}) \)). 4. Wenn Jenkins nicht kompetent ist, könnte man schließen, dass Jenkins unerfahren ist, was die Schlussfolgerung \( \neg E(\text{Jenkins}) \) unterstützt. Die Argumentation ist also in der Prädikatenlogik formuliert und zeigt, dass Jenkins unerfahren ist, basierend auf den gegebenen Prämissen.

Accepted Answer

Um einen aussagenlogischen Ausdruck zu finden, der äquivalent zu \( t \leftrightarrow (s \land r) \) ist und nur die Operatoren \( \text{false} \), \( \rightarrow \) (Implikation) und \( \lor \)... [mehr]

Accepted Answer

Um einen aussagenlogischen Ausdruck zu finden, der äquivalent zu \( t \leftrightarrow (s \land r) \) ist und nur die Operatoren \( \text{false} \), \( \rightarrow \) (Implikation) und \( \lor \) (Disjunktion) verwendet, können wir die Äquivalenzen der logischen Operatoren nutzen. Der Ausdruck \( t \leftrightarrow (s \land r) \) kann umgeschrieben werden als: \[ (t \rightarrow (s \land r)) \land ((s \land r) \rightarrow t) \] Nun können wir die Konjunktion \( \land \) durch die Disjunktion \( \lor \) und die Negation umschreiben. Die Negation kann durch die Implikation umformuliert werden: \[ A \land B \equiv \neg(A \rightarrow \neg B) \] Das bedeutet, dass wir den Ausdruck umformen können, um nur die geforderten Operatoren zu verwenden. Der vollständige Ausdruck könnte dann wie folgt aussehen: \[ \neg(t \rightarrow \neg(s \land r)) \equiv (t \rightarrow (s \land r)) \lor ((s \land r) \rightarrow t) \] Das ist jedoch nicht direkt in der geforderten Form. Um den Ausdruck vollständig in die geforderten Operatoren zu bringen, könnte man auch die Implikationen direkt umformen: \[ (t \rightarrow (s \land r)) \lor ((s \land r) \rightarrow t) \] Das ist eine mögliche Form, die die Bedingungen erfüllt.