3 Fragen zu Tangentengleichung

In einer Tangentengleichung repräsentiert der Bruch \(-\frac{3}{2}\) die Steigung der Tangente. Das Minuszeichen vor dem Bruch bedeutet, dass die Steigung negativ ist, was bedeutet, dass die Tangente von links oben nach rechts unten verläuft. Der Bruch \(-\frac{3}{2}\) kann auch als \(\frac{-3}{2}\) oder \(\frac{3}{-2}\) geschrieben werden, aber in allen Fällen bleibt die Steigung negativ. Das Minuszeichen kann entweder im Zähler oder im Nenner stehen, aber es beeinflusst nicht die Richtung der Steigung. Es ist wichtig zu verstehen, dass das Minuszeichen die gesamte Steigung betrifft und nicht nur eine der Zahlen im Bruch. Wenn du die Tangentengleichung \(y = mx + b\) hast, wobei \(m\) die Steigung ist, dann bedeutet \(m = -\frac{3}{2}\), dass für jeden Schritt nach rechts (um 2 Einheiten) die Tangente um 3 Einheiten nach unten geht.

Der Zusammenhang zwischen der Tangentengleichung und der Sekantengleichung liegt in der Analyse von Funktionen und deren Steigungen. 1. **Sekante**: Eine Sekante ist eine Linie, die zwei Punkte auf einer Kurve verbindet. Die Sekantengleichung beschreibt die Steigung der Linie zwischen diesen beiden Punkten. Wenn du zwei Punkte \( A(x_1, f(x_1)) \) und \( B(x_2, f(x_2)) \) auf der Funktion \( f(x) \) hast, wird die Steigung der Sekante \( m_s \) durch die Formel berechnet: \[ m_s = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \] 2. **Tangente**: Eine Tangente ist eine Linie, die die Kurve an einem bestimmten Punkt berührt, ohne sie zu schneiden. Die Tangentengleichung beschreibt die Steigung der Funktion an diesem Punkt. Wenn du einen Punkt \( P(a, f(a)) \) auf der Funktion hast, wird die Steigung der Tangente \( m_t \) durch die Ableitung der Funktion an diesem Punkt gegeben: \[ m_t = f'(a) \] Der Zusammenhang zwischen beiden ist, dass die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten \( A \) und \( B \) (die sich dem Punkt \( P \) nähern) die Steigung der Tangente an diesem Punkt \( P \) annähert, wenn der Abstand zwischen \( A \) und \( B \) kleiner wird. Mathematisch ausgedrückt, wenn \( x_2 \) gegen \( x_1 \) geht, konvergiert die Sekantensteigung \( m_s \) gegen die Tangentensteigung \( m_t \): \[ \lim_{x_2 \to x_1} m_s = m_t = f'(x_1) \] Somit ist die Tangente der Grenzfall der Sekante, wenn die beiden Punkte zusammenfallen.

Um die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \( f(x) = (x-1)(x-3)^2 \) im Punkt \( P(1|f(1)) \) zu bestimmen, sind folgende Schritte notwendig: 1. **Bestimme den Funktionswert \( f(1) \)**: \[ f(1) = (1-1)(1-3)^2 = 0 \cdot 4 = 0 \] Der Punkt \( P \) ist also \( (1, 0) \). 2. **Berechne die Ableitung \( f'(x) \)**: Um die Ableitung zu berechnen, verwenden wir die Produktregel. Setzen wir \( u = (x-1) \) und \( v = (x-3)^2 \): \[ f'(x) = u'v + uv' \] Hier ist \( u' = 1 \) und \( v' = 2(x-3) \). Somit ergibt sich: \[ f'(x) = 1 \cdot (x-3)^2 + (x-1) \cdot 2(x-3) \] Jetzt setzen wir \( x = 1 \) ein: \[ f'(1) = (1-3)^2 + (1-1) \cdot 2(1-3) = 4 + 0 = 4 \] 3. **Bestimme die Gleichung der Tangente**: Die Tangentengleichung hat die Form: \[ y - f(a) = f'(a)(x - a) \] Setzen wir \( a = 1 \), \( f(1) = 0 \) und \( f'(1) = 4 \) ein: \[ y - 0 = 4(x - 1) \] Das vereinfacht sich zu: \[ y = 4x - 4 \] Die Gleichung der Tangente an den Graphen von \( f \) im Punkt \( P(1|f(1)) \) ist also: \[ y = 4x - 4 \]