3 Fragen zu Schnittwinkel

Der Schnittwinkel \( \alpha \) zwischen zwei Geraden kann mit Hilfe der Steigungen der Geraden berechnet werden. Angenommen, die beiden Geraden haben die Steigungen \( m_1 \) und \( m_2 \). Der Schnittwinkel wird dann mit der folgenden Formel berechnet: \[ \tan(\alpha) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| \] Um den Winkel \( \alpha \) zu erhalten, kannst du den Arkustangens (inverse Tangens) verwenden: \[ \alpha = \arctan\left(\left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|\right) \] Falls die Geraden senkrecht zueinander stehen, ist der Schnittwinkel \( \alpha = 90^\circ \) oder \( \frac{\pi}{2} \) Radiant. Wenn die Geraden parallel sind, beträgt der Schnittwinkel \( 0^\circ \) oder \( 180^\circ \).

Der Schnittwinkel ist der Winkel, der zwischen zwei Linien, Strahlen oder Flächen entsteht, wenn sie sich schneiden oder kreuzen. In der Geometrie wird der Schnittwinkel oft verwendet, um die Beziehung zwischen verschiedenen geometrischen Figuren zu beschreiben. Der Schnittwinkel kann in Grad oder Radiant gemessen werden und ist wichtig in vielen Anwendungen, wie zum Beispiel in der Trigonometrie, der Architektur und der Ingenieurwissenschaft.

Um den Winkel zwischen der Ebene \( F: 2x_1 + x_2 = 4 \) und der \( x_1x_3 \)-Ebene zu berechnen, gehst du wie folgt vor: **1. Bestimme die Normalenvektoren:** - Die Ebene \( F \) hat die Gleichung \( 2x_1 + x_2 = 4 \). Der Normalenvektor ist also \( \vec{n}_F = (2, 1, 0) \). - Die \( x_1x_3 \)-Ebene ist die Ebene mit \( x_2 = 0 \). Ihr Normalenvektor ist \( \vec{n}_{x_1x_3} = (0, 1, 0) \). **2. Berechne den Winkel zwischen den Normalenvektoren:** Der Kosinus des Winkels \( \alpha \) zwischen den Normalenvektoren ist: \[ \cos\alpha = \frac{\vec{n}_F \cdot \vec{n}_{x_1x_3}}{|\vec{n}_F| \cdot |\vec{n}_{x_1x_3}|} \] Berechne das Skalarprodukt: \[ \vec{n}_F \cdot \vec{n}_{x_1x_3} = (2, 1, 0) \cdot (0, 1, 0) = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 \] Beträge: \[ |\vec{n}_F| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{5} \] \[ |\vec{n}_{x_1x_3}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1 \] Setze ein: \[ \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \] \[ \alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \approx 63,43^\circ \] **3. Gesuchter Schnittwinkel:** Der Schnittwinkel zwischen den Ebenen ist der Komplementärwinkel zu \( \alpha \), also: \[ \beta = 90^\circ - \alpha \approx 26,57^\circ \] **Antwort:** Die Ebene \( F \) schneidet die \( x_1x_3 \)-Ebene unter einem Winkel von etwa **26,57°**.