3 Fragen zu Scheitelform

Um zu berechnen, ob ein Auto mit den angegebenen Maßen unter einem parabolischen Bogen hindurchfahren kann, muss die Parabelgleichung des Bogens aufgestellt und überprüft werden, ob die Höhe des Bogens an den relevanten Stellen ausreicht. 1. **Parabelgleichung aufstellen:** Die allgemeine Form der Parabel ist \( y = a(x - d)^2 + e \), wobei \( (d, e) \) der Scheitelpunkt ist. Für den Bogen ist der Scheitelpunkt \( (3, 5) \), da der Bogen 6 m breit und 5 m hoch ist. Setze \( d = 3 \) und \( e = 5 \) in die Scheitelform ein: \[ y = a(x - 3)^2 + 5 \] 2. **Parameter \( a \) bestimmen:** Der Bogen ist 6 m breit, also reicht er von \( x = 0 \) bis \( x = 6 \). An den Endpunkten des Bogens (bei \( x = 0 \) und \( x = 6 \)) ist die Höhe \( y = 0 \). Setze \( x = 0 \) und \( y = 0 \) in die Gleichung ein: \[ 0 = a(0 - 3)^2 + 5 \] \[ 0 = 9a + 5 \] \[ 9a = -5 \] \[ a = -\frac{5}{9} \] Die Parabelgleichung lautet also: \[ y = -\frac{5}{9}(x - 3)^2 + 5 \] 3. **Überprüfen, ob das Auto hindurchpasst:** Das Auto ist 3,4 m breit, also muss die Höhe des Bogens an den Stellen \( x = 1,3 \) m und \( x = 4,7 \) m (3 m ± 1,7 m) überprüft werden. Berechne die Höhe des Bogens bei \( x = 1,3 \): \[ y = -\frac{5}{9}(1,3 - 3)^2 + 5 \] \[ y = -\frac{5}{9}(-1,7)^ + 5 \] \[ y = -\frac{5}{9}(2,89) + 5 \] \[ y = -1,605 + 5 \] \[ y = 3,395 \] Berechne die Höhe des Bogens bei \( x = 4,7 \): \[ y = -\frac{5}{9}(4,7 - 3)^2 + 5 \] \[ y = -\frac{5}{9}(1,7)^2 5 \] \[ y = -\frac{5}{9}(2,89) + 5 \] \[ y = -1,605 + 5 \] \[ y = 3,395 \] Da die Höhe des Bogens an den relevanten Stellen 3,395 m beträgt und das Auto 3,5 m hoch ist, passt das Auto nicht unter den Bogen hindurch.

Um die Funktion \( y = x^2 + 4x - 5 \) in die Scheitelform zu bringen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden. 1. Beginne mit der Funktion: \( y = x^2 + 4x - 5 \) 2. Fasse die quadratischen Terme zusammen: \( y = (x^2 + 4x) - 5 \) 3. Um die quadratische Ergänzung durchzuführen, nimm den Koeffizienten von \( x \) (das ist 4), teile ihn durch 2 und quadriere das Ergebnis: \( \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 2^2 = 4 \) 4. Füge und subtrahiere 4 innerhalb der Klammer: \( y = (x^2 + 4x + 4 - 4) - 5 \) 5. Schreibe die Klammer als Quadrat und fasse die konstanten Terme zusammen: \( y = (x + 2)^2 - 9 \) Die Scheitelform der Funktion ist somit: \[ y = (x + 2)^2 - 9 \] Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei \( (-2, -9) \).

Um die Funktion \( y = x^2 - x + 12 \) in Scheitelform zu bringen, verwenden wir die Methode der quadratischen Ergänzung. 1. Beginne mit der Funktion: \[ y = x^2 - x + 12 \] 2. Nimm die Koeffizienten des quadratischen Terms und des linearen Terms: - Der Koeffizient von \( x \) ist \(-1\). 3. Teile diesen Koeffizienten durch 2 und quadriere das Ergebnis: \[ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] 4. Füge und subtrahiere diesen Wert in der Gleichung: \[ y = \left(x^2 - x + \frac{1}{4}\right) + 12 - \frac{1}{4} \] 5. Schreibe die quadratische Ergänzung als Quadrat: \[ y = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{47}{4} \] Die Scheitelform der Funktion ist somit: \[ y = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{47}{4} \] Hierbei ist der Scheitelpunkt \( \left(\frac{1}{2}, \frac{47}{4}\right) \).